Matematyka.pl

Czy dobrze rozumiem, że przestrzeń Hilberta rożni się od przestrzeni Banacha, tylko tym że przestrzeń Hilberta posiada dodatkową strukturę iloczynu skalarnego?
Czyli np. przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1] }\) z normą supremum jest przestrzenią Banacha a nie jest przestrzenią Hilberta.
(Bo z tego co wiem to nie istnieje symetryczna dwu forma indukująca normę supremum.)
Czy dobrze to wszystko rozumiem, czy coś jeszcze pominąłem?

Tak, różnica polega na tym, że w przestrzeni Hilberta norma ma pochodzić od iloczynu skalarnego co jest dość silnym warunkiem. Przykładowo każda przestrzeń Hilberta \(\mathcal{H}\) jest refleksywna, to znaczy jest ona izometrycznie izomorficzna (jako przestrzeń unormowana) ze swoją przestrzenią bidualną \(\mathcal{H}^{**}\). To, że przestrzeń \(X=\mathcal{C}[0,1]\) nie jest refleksywna wynika przykładowo z twierdzenia Riesza-Markova-Kakutaniego o reprezentacji. Jednak są prostsze sposoby, aby udowodnić, że \(X\) nie jest przestrzenią Hilberta.