Wlasnosc gradientu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
K4c2m4r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 sty 2007, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 6 razy

Wlasnosc gradientu

Post autor: K4c2m4r » 11 paź 2007, o 21:03

Nie moge znalezc nic na ten temat w Internecie, a jest to jedno z zadan egzaminayjnych

Pokazac, ze \(\displaystyle{ grad(\frac{\phi}{\psi})=\frac{\psi grad\phi - \phi grad\psi}{\psi^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ \psi i \phi}\) sa rozniczkowalnymi polami skalarnymi, natomiast a,b sa rzeczywiste.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wlasnosc gradientu

Post autor: luka52 » 11 paź 2007, o 21:30

"Składowa iksowa" prawej strony, to:
\(\displaystyle{ \frac{\psi \phi_x' - \phi \psi_x'}{\psi^2}}\)
I jest to również "składowa iksowa" lewej strony (zastosować wzór na pochodną ilorazu należy). Analogicznie można pokazać, że pozostałe składowa są sobie równe. Stąd prawdziwość danej równości.
(oczywiście nie ma znaczenia w jakim układzie współrzędnych byśmy obliczali gradient (walcowym, sferycznym, kartezjańskim), zawsze odpowiednie składowe będą sobie równe)

ODPOWIEDZ