Matematyka.pl

Mam znaleźć równanie prostej k w postaci parametrycznej

\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x + 3y - 2z -1 = 0 \\ 3x + 2y - 3z + 2 = 0 \end{cases} }\)

Wyznaczyłem dwa wektory:
\(\displaystyle{ \vec{N_{1}} = [1, 3, -2] }\)
\(\displaystyle{ \vec{N_{2}} = [3, 2, -3] }\)

Oraz wiem ,że:
\(\displaystyle{ \vec{N_{1}} \times \vec{N_{2}} \neq \vec{0} }\)

I dalej nie wiem co zrobić.

Dodano po 30 minutach 12 sekundach:
Ok znalazłem na OpenAgh sposób rozwiązania.
Wyznaczyłem \(\displaystyle{ \vec{N_{1}} \times \vec{N_{2}} = [-5, -3, -7]}\)
Oraz punkt należący do prostej \(\displaystyle{ P:(1, 2, 3)}\)

I podstawiłem do równania na postać parametryczną. I dostałem:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=1-5t \\ y = 2 -3t \\ z = 3 -7t \end{cases} }\)

Tylko nie wiem czy dobrze zrobiłem, a jeśli dobrze to jak szybko wyznaczać punkty należące do prostej, bo ja tak strzeliłem ten punkt \(\displaystyle{ P}\).

Wyznaczamy współczynniki kierunkowe danej prostej w postaci krawędziowej

\(\displaystyle{ a = -5,\ \ b = -3, \ \ c = -7 }\) iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych płaszczyzn (obliczono poprawnie).

Znajdujemy następnie współrzędne \(\displaystyle{ (x_{0}, y_{0}, z_{0} ) }\) w następujący sposób:

Badamy wyznacznik

\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right| = 2 - 9 = -7 \neq 0 .}\)

Nadajemy zmiennej \(\displaystyle{ z }\) dowolną wartość na przykład \(\displaystyle{ z = 0.}\)

Otrzymujemy wówczas układ dwóch równań liniowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 3y = 1 \\ 3x +2y = -2 \end{cases} }\)

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb

\(\displaystyle{ x = -\frac{8}{7},\ \ y = \frac{5}{7}. }\)

Współrzędne punktu na prostej wynoszą

\(\displaystyle{ \left ( x_{0} , y_{0}, z_{0} \right) = \left( -\frac{8}{7}, \frac{5}{7}, 0 \right)}\)

W konsekwencji postać kierunkowa naszej prostej jest następująca:

\(\displaystyle{ \frac{ x + \frac{8}{7}}{-5} = \frac{ y -\frac{5}{7}}{-3} = \frac{z -0}{-7} \ \ (1) }\)


Postać parametryczna prostej

Oznaczając wspólną wartość ilorazów \(\displaystyle{ (1) }\) przez \(\displaystyle{ t, \ \ t\in \RR, }\) otrzymujemy postać parametryczną prostej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -\frac{8}{7} - 5t, \\ y = \frac{5}{7} - 3t \\ z = 0 -7t. \end{cases} }\)