[Nierówności] Symetryczna w trójkącie
: 11 lis 2019, o 07:49
Rozważamy trójkąt o bokach `a\ge b\ge c>0` i kącie `\alpha` leżącym naprzeciw boku `a`.
a) Niech `\pi >\alpha\ge\frac{\pi}{2}`. Pokaż, że wówczas $$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 5+3\sqrt{2}\qquad (*)$$ Kiedy zachodzi równość?
b) Niech `\frac{\pi}{2}>\alpha\ge\frac{\pi}{3}`. Znajdź wszystkie kąty `\alpha`, takie że nierówność \((*)\) jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości `a,b,c`. Znajdź wszystkie kąty `\alpha`, takie że dla dowolnych dopuszczalnych wartości `a,b,c` prawdziwa jest nierówność \((*)\) z przeciwnym zwrotem.
a) Niech `\pi >\alpha\ge\frac{\pi}{2}`. Pokaż, że wówczas $$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 5+3\sqrt{2}\qquad (*)$$ Kiedy zachodzi równość?
b) Niech `\frac{\pi}{2}>\alpha\ge\frac{\pi}{3}`. Znajdź wszystkie kąty `\alpha`, takie że nierówność \((*)\) jest prawdziwa dla dowolnych dopuszczalnych wartości `a,b,c`. Znajdź wszystkie kąty `\alpha`, takie że dla dowolnych dopuszczalnych wartości `a,b,c` prawdziwa jest nierówność \((*)\) z przeciwnym zwrotem.
Ukryta treść: