Problem z pewną nierównością

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Problem z pewną nierównością

Post autor: pasjonat_matematyki » 10 lis 2019, o 22:16

Aż wstyd się przyznać, ale utknąłem z taką oto nierównością:

przy \(\displaystyle{ |x|<1}\), \(\displaystyle{ m\in \NN }\)

\(\displaystyle{ 1-|x|<}\) \(\displaystyle{ \sqrt[m]{1+x}}\) \(\displaystyle{ <1+|x|}\)

Indukcja? Podnieść do potęgi \(\displaystyle{ m}\) i dwumian Newtona? Prawa nierówność wydaje się dużo prostsza, bo:
\(\displaystyle{ 1+x\le 1+|x|}\), wtedy dla \(\displaystyle{ m >1}\) mamy prawą nierówność.
Ostatnio zmieniony 10 lis 2019, o 22:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17009
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2859 razy

Re: Problem z pewną nierównością

Post autor: a4karo » 11 lis 2019, o 00:05

Wykorzystaj wklęsłość pierwiastka

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14297
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 4699 razy

Re: Problem z pewną nierównością

Post autor: Premislav » 11 lis 2019, o 00:29

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) obie nierówności są fałszywe, powinny być nieostre nierówności bądź inne ograniczenia: \(\displaystyle{ m>1, \ 1>|x|>0}\).

Skorzystanie z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^{m}, \ m\in \NN^+}\) w liczbach rzeczywistych dodatnich poprzez podniesienie tych nierówności stronami do potęgi \(\displaystyle{ m}\) i kombinowanie z dwumianem Newtona jest dobrym pomysłem.
W ten sposób dostajemy dla \(\displaystyle{ 1>|x|>0, \ m\in \NN, \ m\ge 2}\) równoważną oszacowaniu tego pierwiastka z góry nierówność:
\(\displaystyle{ (*) \ (1+|x|)^{m}=1+|x|+\sum_{k=2}^{m}{m\choose k}|x|^{k}>1+|x|\ge 1+x}\)
która zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\RR\setminus \left\{0\right\}}\).
Z drugiej strony dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ (1-|x|)^{m}<1-|x|\Leftrightarrow \frac{1}{1-|x|}<\frac{1}{(1-|x|)^{m}} \Leftrightarrow 1+\frac{|x|}{1-|x|}<\left(1+\frac{|x|}{1-|x|}\right)^{m}}\)
a to jest po prostu nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) ze wstawionym \(\displaystyle{ |x|:=\frac{|x|}{1-|x|}}\),
więc dostajemy
\(\displaystyle{ (1-|x|)^{m}<1-|x|\le 1+x}\), ostatnia nierówność jest już oczywista.


Oczywiście można by to skrócić kosztem powołania się na zachowanie pewnych funkcji, ale jeśli ktoś udowadnia coś tak prostego, to możliwe, że jest to niewskazane.

ODPOWIEDZ