Matematyka.pl

Hej,
czy ktoś mógłby mi jak najprościej wytłumaczyć , dlaczego z twierdzenia Stolza wynika, że

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}.}\)

Twierdzenie działa przy pewnych założeniach. Twierdzenia Stolza udowadnia ogólniej, że jeśli ciąg \(\displaystyle{ c_n>0}\) ma granicę (niekoniecznie właściwą) to ciąg średnich arytmetycznych, geometrycznych i harmonicznych są zbieżne do tej samej granicy . Zatem jeśli przyjmiesz za \(\displaystyle{ c_n= \frac{x_{n+1}}{x_n} }\) to ciąg średnich geometrycznych będzie rzędu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x_n} }\) stąd równość.

Można też uzasadnić, że dla ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) o wyrazach dodatnich z istnienia granicy (skończonej lub nie) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=:G}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=G}\).

By udowodnić ten fakt warto skorzystać w pewnym momencie z zależności \(\displaystyle{ a=\textrm{e}^{\ln a}}\).

Na podstawie uwag Pana Janusza Tracza

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{x_{n}} = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{ x_{1}\cdot \frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot \frac{x_{3}}{x_{2}}\cdot...\cdot \frac{x_{n}}{x_{n-1}}} = \lim_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{x_{n-1}} }\)