Matematyka.pl

Obliczyć pole obszaru \(\displaystyle{ K \subset \mathbb{R}^2 }\) ograniczonego krzywą \(\displaystyle{ (x,y):=(\sin 2 \phi , \sin 3 \phi) }\) dla \(\displaystyle{ \phi\in [0,\pi]}\), tej krzywej.

Z wzoru Greena wynika (to znany fakt uwaga pdf: str 22.8), że możesz policzyć:
Zastosowanie tego wzoru w tym przykładzie sprowadza się do podstawienia danych zatem:

\(\displaystyle{ \text{pole } K= \frac{1}{2} \oint_{ \partial K} x\dd y - y\dd x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left( x(\phi) \frac{\dd y}{ \dd \phi} - y(\phi) \frac{\dd x}{ \dd \phi} \right) \dd \phi }\)

Policz \(\displaystyle{ \frac{\dd y}{ \dd \phi}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{ \dd \phi}}\) wstaw resztę. Całość powinna mocno się uprościć i wyjdzie 'zwykła' całka trygonometryczna.

Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa

a4karo pisze: 9 lis 2019, o 14:51 Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa

Wolfram mówi co innego.

Początek tej krzywej to \((0,1)\) koniec to \((0,-1)\)

Ciężko się liczy pole ograniczone niezamknieta krzywa

Krzywa jest zamknięta, początek jak i jej koniec to punkt \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\). Domyślam się jednak, że pewnie masz na myśli \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \cos 3 \phi\right) }\) zamiast \(\displaystyle{ \left( \sin 2 \phi , \sin 3 \phi\right) }\).

Faktycznie. Przepraszam za zamieszanie