Matematyka.pl

Próbuję wykazać, że dla funkcji gładkiej \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) miara (Lebesgue'a) obrazu zbioru \(\displaystyle{ V=\left\{x \in \mathbb{R}: f'(x)=0\right\}}\) jest równa zero, ale kiepsko to wychodzi. Jak najlepiej do tego podejść? Jakaś wskazówka?

Jest to twierdzenie Sarda.

Zgadza się Jednym z zadań z listy z ćwiczeń, którego nie zrobiliśmy, było wykazanie tego twierdzenia dla \(\displaystyle{ n=1}\). Szukałem dowodu, ale głównie znalazłem takie, które korzystały z mocno nieelementarnych rzeczy, o których jeszcze nie słyszałem. Zastanawiam się jak zrobić to najprościej. Znalazłem teraz między innymi coś takiego

Jednak mam wątpliwości, czy to rozumowanie na pewno jest poprawne (mianowicie lemat, który wykorzystuje).
Generalnie gdyby wspomniany tu zbiór \(\displaystyle{ E}\) był przedziałem domkniętym, to bardzo łatwo z twierdzenia Lagrange'a można pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest lipszycowska na \(\displaystyle{ E}\) ze stałą \(\displaystyle{ M}\), a stąd już szybko wynika teza. Ale przecież \(\displaystyle{ E}\) to jest jakiś dowolny zbiór i raczej nie możemy pochopnie tak wnioskować. A może ten lemat jest prawdziwy i po prostu da się to jakoś sprytniej podejść? Bo póki co kontrprzykładu nie widzę. Myślałem, żeby przy założeniu, że \(\displaystyle{ E}\) jest ograniczony, rozważyć jakiś przedział domknięty zawierający \(\displaystyle{ E}\). Ale przecież na takim większym zbiorze ta stała ograniczająca pochodną może być inna, więc to nic nie daje.

Lemat jest prawdziwy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ E}\).


Dowód: rozważmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R}}\) i załóżmy, że \(\displaystyle{ |f'(x)| \le M}\) dla \(\displaystyle{ x \in E}\). Jeśli \(\displaystyle{ \lambda^*(E) = \infty}\), to teza jest oczywista, więc bez zmniejszania ogólności \(\displaystyle{ E}\) ma skończoną miarę zewnętrzną. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i niech \(\displaystyle{ U \subseteq \mathbb{R}}\) będzie otwartym nadzbiorem \(\displaystyle{ E}\), takim że \(\displaystyle{ \lambda(U) \le \lambda^*(E) + \varepsilon}\).

Przedziałem diadycznym nazywamy przedział postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{k}{2^n}, \frac{k+1}{2^n} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ k, n \in \mathbb{Z}}\). Łatwo zauważyć, że jeśli przekrój dwóch przedziałów diadycznych składa się z więcej niż jednego punktu, to jeden z tych przedziałów zawiera się w drugim. Ponadto dla zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) przez \(\displaystyle{ \overline{\mathrm{conv}} \; A}\) oznaczmy najmniejszy przedział domknięty zawierający \(\displaystyle{ A}\).

Nietrudno sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in E}\) istnieje największy przedział diadyczny \(\displaystyle{ I_x}\), taki że \(\displaystyle{ x \in I_x \subseteq U}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda( \overline{\mathrm{conv}} \; f[I_x] ) \le (M+\varepsilon) \lambda(I_x)}\). Wykażemy, że jeśli \(\displaystyle{ I_x \neq I_y}\), to \(\displaystyle{ \lambda( I_x \cap I_y ) = 0}\). Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ \lambda( I_x \cap I_y ) > 0}\), w szczególności więc \(\displaystyle{ I_x \cap I_y}\) składa się z więcej niż jednego punktu. Jeśli dodatkowo \(\displaystyle{ I_x \neq I_y}\), to z uwagi z poprzedniego akapitu dostajemy \(\displaystyle{ I_x \subsetneq I_y}\) lub \(\displaystyle{ I_y \subsetneq I_x}\), co jest niemożliwe ze względu na definicję przedziałów \(\displaystyle{ I_x, I_y}\).

Rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{I} = \{ I_x : x \in E \}}\) pokrywa \(\displaystyle{ E}\), więc rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{J} = \{ \overline{\mathrm{conv}} \; f{[}I] : I \in \mathcal{I} \}}\) pokrywa \(\displaystyle{ f[E]}\), a co więcej obie te rodziny są przeliczalne. Mamy też

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\lambda^*(f[E]) & \le \sum_{J \in \mathcal{J}} \lambda(J) \le \sum_{I \in \mathcal{I}} \lambda(\overline{\mathrm{conv}} \; f{[}I]) \le \sum_{I \in \mathcal{I}} (M+\varepsilon) \lambda(I) = (M+\varepsilon) \sum_{I \in \mathcal{I}} \lambda(I) \\
& = (M+\varepsilon) \lambda \left( \bigcup \mathcal{I} \right) \le (M+\varepsilon) \lambda(U) \le (M+\varepsilon)( \lambda^*(E) + \varepsilon ).
\end{align*}}\)

Z uwagi dowolność \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dostajemy tezę.

Dziękuję