Strona 1 z 1
podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 13:10
autor: junior_mat
Witam,
mam następujące pytanie:
Ile jest liczb naturalnych bez zera nie większych od
\(\displaystyle{ 2000}\), które nie są podzielne przez żadną z następujących cyfr
\(\displaystyle{ 2,6,8}\)?
licząc za pomocą skryptu wychodzi
\(\displaystyle{ 1000}\).
licząc zgodnie z tym co podaje liu:
Do zbioru
\(\displaystyle{ A}\) naleza liczby:
\(\displaystyle{ n(A)=1000\\
n(B)=333\\
n(c)=250\\
n(A∩B)=166\\
n(A∩C)=125\\
n(B∩C)=41\\
n(A∩B∩C)=20\\
1000+333-166+250-125-41-20=1268}\)
idąc tokiem rozumowania Tristan
\(\displaystyle{ 2000-(1000+333+250)+(166+125+41+20)= 769}\)
w związku z tym bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie jak finalnie powinno wyglądać rozwiązanie
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 18:18
autor: junior_mat
tutaj link do tematu na którym się wzorowałem
viewtopic.php?f=41&t=17837#p82045
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 19:21
autor: Rafsaf
\(\displaystyle{ n(A \cap B)=166\\
n(A \cap C)=125\\
n(B \cap C)=41\\
n(A \cap B \cap C)=20\\ }\)
Pomysł jest dobry, tak należy to zadanie robić(czyli zasada włączeń i wyłączeń), ale obliczenia powyżej są bez większego sensu.
Jakbyś przypatrzył się bliżej temu co liczyłeś to zauważyłbyś że taki np. napis:
\(\displaystyle{ n(A \cap B)=166 \neq 333=n(B)}\)
sugeruje, że NIE każda liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\).
W pozostałych podobnie poprawić i wyjdzie.
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 19:57
autor: junior_mat
Witam,
dziękuję za odpowiedź.
Niestety w dalszym ciągu nie rozumiem jak poprawnie obliczyć to zadanie.
\(\displaystyle{ A \cap B }\) to jak rozumiem zbiór takich liczb, które są podzielne jednocześnie przez 6 i przez 2. Dlaczego zatem nie mogę wykorzystać analogicznego sposobu liczenia tego zbioru? tzn:
\(\displaystyle{ 2\cdot 6=12\\
1\cdot 12,2\cdot 12,...,166\cdot 12}\)
czy mam to obliczyć w taki sposób, że\(\displaystyle{ A \cap B}\) będzie zawsze prawdziwe jeśli zostanie spełniony warunek podzielności przez 6?
Zatem \(\displaystyle{ A \cap B}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 6,2\cdot 6...333\cdot 6}\)
\(\displaystyle{ A \cap B =333}\)
?
Dodano po 11 minutach 32 sekundach:
Gdyby tak było to rachunki wyglądały by chyba tak:
\(\displaystyle{ n(A) = 1000\\
n(b) = 333'\\
n(c) = 250\\
n( A \cap B ) = 333 \\
n( A \cap C ) = 250 \\
n( B \cap C ) = 41 \\
n( A \cap B \cap C ) = 41 \\
1000 + 333 - 333 +250 - 250 -41 -41 = 918}\)
a wq Tristan
\(\displaystyle{ 2000 - (1000 + 333 + 250) + (333 + 250 + 41 + 41) = 1082}\)
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 19:58
autor: Rafsaf
Tak. będzie wynik
\(\displaystyle{ 333}\) dla liczb podzielnych przez
\(\displaystyle{ 2}\) i
\(\displaystyle{ 6}\)
junior_mat pisze: ↑6 lis 2019, o 19:46
\(\displaystyle{ A \cap B }\) to jak rozumiem zbiór takich liczb, które są podzielne jednocześnie przez 6 i przez 2. Dlaczego zatem nie mogę wykorzystać analogicznego sposobu liczenia tego zbioru?
Oczywiście, to są takie podzielne jednocześnie przez
\(\displaystyle{ 6}\) i przez
\(\displaystyle{ 2}\) i tak jak to zrobiłeś czyli wybranie podzielnych przez
\(\displaystyle{ 12}\) pomija wiele przypadków.
Innymi słowy interesują Cię wielokrotności NWW(najmniejsza wspólna wielokrotność) tych dwóch/trzech/więcej liczb jeśli chcesz znaleźć
wszystkie liczby podzielne jednocześnie przez nie.
Inny przykład:
Jak chcę znaleźć liczby od
\(\displaystyle{ 1}\) do
\(\displaystyle{ 100}\) podzielne jednocześnie przez
\(\displaystyle{ 2,8,4,3}\) to wedle Twojego "sposobu" nie byłoby żadnej takiej(bo
\(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 = 192}\)) a przecież
\(\displaystyle{ 24}\) jak najbardziej spełnia założenia i wielokrotności
\(\displaystyle{ 24}\) również czyli
\(\displaystyle{ 24,48,72,96}\)
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 6 lis 2019, o 20:18
autor: junior_mat
ok, to CHYBA rozumiem
w takim wypadku powinienem też chyba zmienić zbiór \(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 41 }\) na \(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 83 }\) bo \(\displaystyle{ 2000/24 = 83,3}\)
oraz \(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 41 }\) na \(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 83 }\)
Niestety wyniki jeszcze bardziej się rozjeżdżają. Gdzie jeszcze popełniam błąd?
\(\displaystyle{ n(A) = 1000\\
n(b) = 333\\
n(c) = 250\\
n( A \cap B ) = 333 }\)
\(\displaystyle{ n( A \cap C ) = 250 }\)
\(\displaystyle{ n( B \cap C ) = 83 }\)
\(\displaystyle{ n( A \cap B \cap C ) = 83 }\)
\(\displaystyle{ 1000 + 333 - 333 +250 - 250 -83 -83 = 834 }\)
a wq Tristan
\(\displaystyle{ 2000 - (1000 + 333 + 250) + (333 + 250 + 83 + 83) = 1166}\)
Dodano po 10 minutach 59 sekundach:
Generalnie "na oko" widać, że to 83 i 83 tam nie pasuje. Nie wiem tylko, dlaczego w tym konkretnym przypadku te dwa zbiory nie powodują zmiany ilości powtórzeń tych samych liczb?
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 7 lis 2019, o 01:18
autor: Rafsaf
Tak, teraz już moce tych zbiorów liczysz poprawnie,
jest inaczej niż napisałeś bo przy
\(\displaystyle{ \left| A \cap B \cap C\right|}\) jest inny znak niż przy
\(\displaystyle{ \left| A \cap B\right|}\) itp. czyli
\(\displaystyle{ 1000+333−333+250−250−83+83=1000}\)
a to już wynika z wzoru na
\(\displaystyle{ \left| A \cup B \cup C\right|}\)
Nie mam predyspozycji by się tu nad tym rozwodzić i tłumaczyć, może coś takiego będzie jasne zależnie od Twojego poziomu wiedzy
Kod: Zaznacz cały
https://www.mimuw.edu.pl/~guzicki/materialy/Zasada_Wl_Wyl.pdf
lub poszukaj w necie czegoś bardziej przystępnego o zasadzie włączeń i wyłączeń jeśli np. przypadkowo nie studiujesz(lub nie studiujesz dość długo) matmy lub infy czy czegoś podobnego
Re: podzielność - ile jest liczb niepodzielnych przez 2,6,8
: 7 lis 2019, o 13:33
autor: junior_mat
Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Czy mógłbym jeszcze poprosić o pomoc z jednym zadaniem?
viewtopic.php?f=41&t=442980