Matematyka.pl

Wykaż że \(\displaystyle{ \tg\left(\frac {\pi\sin x}{4 \sin y} \right) + \tg\left(\frac {\pi\cos x}{4 \cos y}\right ) > 1}\), dla \(\displaystyle{ x \in [0;\frac {\pi}{2}],}\) \(\displaystyle{ y\in (\frac {\pi}{6}; \frac {\pi}{3}).}\)

Wygląda na trolling albo to ja za szybko próbowałem walić z armat i na nic się to nie zdawało. Najpierw uzasadniamy, że kąty
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}\frac{\sin x}{\sin y}, \ \frac{\pi}{4}\frac{\cos x}{\cos y}}\) należą do \(\displaystyle{ \left[0, \frac{\pi}{2}\right)}\), a więc oba tangensy są nieujemne (gdy wyrzucić \(\displaystyle{ x=0}\), to wręcz dodatnie), a potem wykazujemy, że gdy \(\displaystyle{ x,y}\) należą do pierwszej ćwiartki, to musi zajść któraś z relacji \(\displaystyle{ x=y, \ \frac{\sin x}{\sin y}>1, \ \frac{\cos x}{\cos y}>1}\). A że tangens jest funkcją rosnącą w pierwszej ćwiartce i \(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{4}=1}\), to koniec.