Strona 1 z 1
Wyznacz prawdopodobieństwo
: 4 lis 2019, o 15:11
autor: max123321
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrami odpowiednio \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\). Wyznacz prawdpodobieństwo \(\displaystyle{ P(X<Y)}\).
Jak to zrobić?
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
: 4 lis 2019, o 19:43
autor: matmatmm
Musisz policzyć rozkład różnicy
\(\displaystyle{ X-Y}\) lub inaczej pisząc sumy
\(\displaystyle{ X+(-Y)}\). Skoro
\(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, to
\(\displaystyle{ X,-Y}\) także.
Podpowiedź:
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
: 4 lis 2019, o 23:03
autor: max123321
A możesz to jakoś bardziej rozpisać? bo na razie nie łapię. Po co mi ten rozkład \(\displaystyle{ X-Y}\)? Wiem jeszcze, że rozkład łączny \(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\).
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
: 5 lis 2019, o 08:49
autor: matmatmm
Masz do policzenia wartość dystrybuanty tego rozkładu w zerze.
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
: 5 lis 2019, o 09:54
autor: max123321
Aha no faktycznie rozumiem. Ale jak znaleźć rozklad \(\displaystyle{ X-Y}\)?
Aha no dobra bo mówisz o tym splocie. Ale jak wyznaczyć rozklad \(\displaystyle{ -Y}\)?
Re: Wyznacz prawdopodobieństwo
: 5 lis 2019, o 11:53
autor: janusz47
\(\displaystyle{ X \sim \lambda_{1} e^{-\lambda_{1}x}, \ \ Y \sim \lambda_{2}e^{-\lambda_{2} x}.}\)
\(\displaystyle{ P(\{ Y > X\}) = P_{X,Y}( \{ (x,y): y - x > 0 \}) = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}\left( \lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x}\cdot \lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}\right) dy dx = \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( \int_{x}^{\infty}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy\right)dx = \\
= \int_{0}^{\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}x} \left( 1 - \int_{0}^{x}\lambda_{2}e^{-\lambda_{2}y}dy \right) dx =...}\)
Dodano po 9 minutach 8 sekundach:
Proszę najpierw obliczyć całkę wewnętrzną, uproszczą się wtedy jedynki.