Matematyka.pl

Mam problem z takim zadaniem:
Jaka jest szansa, że na \(\displaystyle{ 1000}\) rzutów sześcienną kostką, ilość wyrzuconych \(\displaystyle{ 6}\) oczek będzie zawierała się
pomiędzy \(\displaystyle{ 160}\) i \(\displaystyle{ 170}\)?
Dotyczy ono najpewniej standaryzowanego rozkładu normalnego.

Chciałem to zrobić tak:
\(\displaystyle{ P(160<X<170) = P(X<170) - P(X<160) = F(X=170) - F(X=160) =}\) i tutaj już potrzebuję wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego,
dla rzutu kostką wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ 3,5}\) a odchylenie to \(\displaystyle{ 1,71}\). Nie wiem czy w ogóle dobrze rozumuje, może ktoś naprowadzić?

Szansa czy prawdopodobieństwo?
Szansa wyrzucenia "6" jest równa \(\displaystyle{ 1 : 5}\), prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{6} }\).

Na piechotę, ze schematu Bernoullie'go:

\(\displaystyle{ p\left(160<S_{1000}<170\right)=p(S_{1000}=161)+\ldots +p(S_{1000}=169)=\\ ={1000 \choose 161}\cdot \left( \frac{1}{6}\right)^{161}\cdot\left( \frac{5}{6}\right) ^{839} +\ldots \ldots +{1000 \choose 169}\cdot\left( \frac{1}{6}\right)^{169}\cdot\left( \frac{5}{6}\right)^{831}=\ldots}\)

Prawdopodobieństwo to można oszacować chyba z nierówności Czebyszewa, ale tej nie pamiętam na tyle, żeby pisać...

Pozdrawiam

Integralne Twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left( \frac{1}{6}, 1000\right) }\)

\(\displaystyle{ Pr\left(160 \leq X \leq 170 \right) = Pr \left( \frac{160 -1000\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{1000\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}} \leq Z \leq \frac{170 -1000\cdot \frac{1}{6}}{\sqrt{1000\cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}} \right) \approx Pr (-0.57 \leq Z \leq 0,28 ) \approx \phi(0,28) + \phi(0,57) -1 \approx 0,33.}\)

Po polsku to będzie centralne twierdzenie graniczne, nie ma takiego słowa jak "integralny" w matematyce (przynajmniej nie w tym kontekście). Przy okazji można zastanowić się nad tym, jak dobre jest przybliżenie, dokładny wynik to zdaje się trochę mniej:



\(\displaystyle{ 0.29562...}\)

(złe granice sumowania u janusz47 ze względu na ostrość nierówności w treści zadania).

Wyróżniamy dwie grupy twierdzeń granicznych. Twierdzenia lokalne, dotyczące zbieżności funkcji prawdopodobieństwa zmiennych losowych skokowych i funkcji gęstości zmiennych losowych ciągłych i twierdzenia integralne dotyczące zbieżności ciągu dystrybuant.

Twierdzenie Lindenberga-Levy' ego oraz jego szczególny przypadek - twierdzenie de Moivre'a- Laplace'a (gdy ciąg niezależnych zmiennych losowych ma rozkład dwumianowy) należą do grupy twierdzeń integralnych. Dlatego mówimy o Integralnym Twierdzeniu de Moivre'a Laplace'a.

Proszę poczytać na ten temat np. w książkach

Agnieszka Plucińska Edmund Pluciński Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka Matematyczna Procesy Stochastyczne INTEGRALNE TWIERDZENIA GRANICZNE( DOTYCZĄCE ZBIEŻNOŚCI DYSTRYBUANT) str. 220 WNT Warszawa 2000.

METODY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO Andrzeja Balickiego i Wiesława Makacia Rozdział 4 TWIERDZENIA GRANICZNE str. 80 Wyd. UG. Gdańsk 2000 r.

Zgodzę się, że w niektórych podręcznikach z teorii prawdopodobieństwa jak na przykład w podręczniku Mirosława Krzyśko Wykłady z teorii prawdopodobieństwa Wyd. WNT Warszawa 2000 przymiotnik integralne jest opuszczany.

Można dodatkowo uwzględnić poprawkę na dokładność ITMW , którą myślę że Pan zastosuje i porówna wyniki przybliżone otrzymane za pomocą tego twierdzenia, z wynikiem który otrzymał Pan za pomocą programu WolframAlpha.

Dodano po 41 minutach 26 sekundach:
Można i należy stosować przedziały domknięte w ITML.

Patrz na przykład Jacek Jakubowski Rafał Sztencel Rachunek Prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego rozdział Twierdzenie graniczne strony 187- 190. Wyd. SCRIPT Warszawa 2002.

Wtedy otrzyma Pan poprawny wynik w programie WolframAlpha.