Matematyka.pl

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) taki, że \(\displaystyle{ a_{1} = 1, a_{2} = 8, a_{n} = a_{n-1} + 2 a_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot (-1)^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN.}\)

Zadanie próbowałem robić metodą indukcji matematycznej, udowodniłem, że wszystko zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\). Sformułowałem krok indukcyjny.
Równość

\(\displaystyle{ a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot (-1)^{n}}\) muszę przekształcić do

\(\displaystyle{ a_{n+1} = 3 \cdot 2^{n} + 2 \cdot (-1)^{n+1}}\)

Na początku obustronnie ją pomnożyłem przez \(\displaystyle{ 2 \cdot (-1)}\). Wtedy wyszło:

\(\displaystyle{ (-2) a_{n} = (-1) \cdot 3 \cdot 2^{n} + 2 \cdot 2 \cdot (-1)^{n+1}}\)

Następnie obustronnie dodałem \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot (-1)^{n+1} }\). Wyszła poniższa równość:

\(\displaystyle{ (-2) a_{n} + 2 \cdot 3 \cdot 2^{n} - 2 \cdot (-1)^{n+1} = 3 \cdot 2^{n} + 2 \cdot (-1)^{n+1}}\)

Prawa strona równości jest już w końcowej postaci, ale nie mam pojęcia jak lewą przekształcić na \(\displaystyle{ a_{n+1} }\).
Uprzejmie proszę o pomoc.

Pozdrawiam,
Damian

MlodyMatematykAmator pisze: 1 lis 2019, o 14:38Sformułowałem krok indukcyjny.
Równość

\(\displaystyle{ a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot (-1)^{n}}\) muszę przekształcić do

\(\displaystyle{ a_{n+1} = 3 \cdot 2^{n} + 2 \cdot (-1)^{n+1}}\)

Źle sformułowałeś krok indukcyjny.

JK

Tutaj napisałem skrótowo, w rzeczywistości brzmi tak: (niech równość na górze to będzie (x) a z dołu (y))
Załóżmy, że zachodzi (x). Wówczas pokażę, że zachodzi również (y).

Jeśli w istocie jest on źle sformułowany, to bardzo proszę o radę, jak powinien wyglądać.

Stosujesz schemat indukcji

\(\displaystyle{ \varphi(1)\land\varphi(2)\land(\forall n\ge 1)(\varphi(n)\land\varphi(n+1) \Rightarrow \varphi(n+2)) \Rightarrow (\forall n\ge 1)\varphi(n).}\)

Oznacza to że w kroku indukcyjnym ustalasz \(\displaystyle{ n\ge 1}\) takie, że wzór zachodzi dla \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) i pokazujesz, że zachodzi dla \(\displaystyle{ a_{n+2}.}\)

JK