Granica iloczynu sinusów
: 30 paź 2019, o 17:40
Witam, do policzenia jest granica w nieskończoności z takiego wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})\cdot \sin(\frac{x}{4})\cdot \sin(\frac{x}{8})\cdot ...\cdot \sin(\frac{x}{2^n})}\), gdzie zmienną jest \(\displaystyle{ n}\)
(1) Próbowałem to "ruszyć" kilkoma sposobami, najpierw rozwijaniem \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})}\)
w \(\displaystyle{ 2\cdot \sin(\frac{x}{4})\cdot \cos(\frac{x}{4})}\) i każdego kolejnego sinusa analogicznie, ale powstaje
wtedy iloczyn kosinusów o różnych potęgach, który raczej do niczego nie prowadzi.
(2) Próbowałem również zamieniać w drugą stronę - tj. \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{4}) = \frac{{\sin(\frac{x}{2})}}{{2\cdot \cos(\frac{x}{4})}}}\)
i tak dalej dla każdego sinusa, aby dostać tylko iloczyn sinusów w postaci \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})}\),
niestety ten pomysł to również niewypał, bo także pojawiają się cosinusy o zmiennych potegach.
Wzorki, które otrzymałem przy użyciu każdej z metod:
(1) \(\displaystyle{ a _{n} = 2^{2\cdot n-1}\cdot \cos(\frac{x}{4})\cdot \cos(\frac{x}{8})^2\cdot ...\cdot \cos(\frac{x}{2^{n+1}})\cdot \sin(\frac{x}{2^{n+1}})^n}\)
(2) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{\sin(\frac{x}{2})^n}{2^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}\cdot \cos(\frac{x}{4})^{n-1}\cdot \cos(\frac{x}{8})^{n-2} \cdot ... \cdot \cos(\frac{x}{2^n})}}\)
Niestety, żaden z nich do niczego mnie nie doprowadził
\(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})\cdot \sin(\frac{x}{4})\cdot \sin(\frac{x}{8})\cdot ...\cdot \sin(\frac{x}{2^n})}\), gdzie zmienną jest \(\displaystyle{ n}\)
(1) Próbowałem to "ruszyć" kilkoma sposobami, najpierw rozwijaniem \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})}\)
w \(\displaystyle{ 2\cdot \sin(\frac{x}{4})\cdot \cos(\frac{x}{4})}\) i każdego kolejnego sinusa analogicznie, ale powstaje
wtedy iloczyn kosinusów o różnych potęgach, który raczej do niczego nie prowadzi.
(2) Próbowałem również zamieniać w drugą stronę - tj. \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{4}) = \frac{{\sin(\frac{x}{2})}}{{2\cdot \cos(\frac{x}{4})}}}\)
i tak dalej dla każdego sinusa, aby dostać tylko iloczyn sinusów w postaci \(\displaystyle{ \sin(\frac{x}{2})}\),
niestety ten pomysł to również niewypał, bo także pojawiają się cosinusy o zmiennych potegach.
Wzorki, które otrzymałem przy użyciu każdej z metod:
(1) \(\displaystyle{ a _{n} = 2^{2\cdot n-1}\cdot \cos(\frac{x}{4})\cdot \cos(\frac{x}{8})^2\cdot ...\cdot \cos(\frac{x}{2^{n+1}})\cdot \sin(\frac{x}{2^{n+1}})^n}\)
(2) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{\sin(\frac{x}{2})^n}{2^{\frac{n\cdot(n-1)}{2}}\cdot \cos(\frac{x}{4})^{n-1}\cdot \cos(\frac{x}{8})^{n-2} \cdot ... \cdot \cos(\frac{x}{2^n})}}\)
Niestety, żaden z nich do niczego mnie nie doprowadził