Matematyka.pl

Znam jedno z rozwiązań (\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)) równania\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x - \sin x +\sqrt{3}\cos x=0}\)
Jak to rozwiązać?

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=\cos x}\) i przekształcceniach dostaję równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}=\frac{1+\sqrt{3}y}{1-2y}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ 4y^4-4y^3+(2\sqrt{3}+4)y=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4=0}\)

Badając pochodną wyrażenia \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4}\) dostaję max w zerze i min w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) - oba mają wartości większe od 1. Natomiast \(\displaystyle{ y(-1)<0}\), więc jest jeszcze rozwiązanie \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,0\right) }\).

Dodano po 37 minutach 49 sekundach:
Zapomniałem o założeniach przed podniesieniem do kwadratu.
\(\displaystyle{ y\in\left\langle -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2}\right) }\)
A \(\displaystyle{ y(-\frac{\sqrt{3}}{3})>0}\), więc innych rozwiązań nie ma.

Proszę o sprawdzenie rozumowania i rachunków.

Rozumowanie jest OK, doszedłem do tego samego, ale nie potrafię obliczyć tego ostatniego pierwiastka inaczej niż ze wzorów Cardana:

W ogóle rozwiązania są przeurocze:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+4y%5E%7B3%7D-4y%5E%7B2%7D%2B2sqrt%283%29%2B4%3D0
Ja sobie z tym dam spokój. Próbowałem cisnąć ze wzorów Viete'a i wykorzystywać jakoś to, że pierwiastki zespolone nierzeczywiste są wzajemnie sprzężone, ale nic to nie dało.

Dziękuję. Nie napisałem, że zależy mi jedynie na rozwiązaniach rzeczywistych

Chwilowo nie mam możliwości policzenia na kartce, ale ... zacząłbym:

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) rozwiązaniem danego równania nie jest \(\displaystyle{ \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\)

\(\displaystyle{ 2^\circ}\) dla \(\displaystyle{ x\ne \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\) mamy: \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\wedge \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} }\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2} \wedge t\in\RR}\)

Podstawienie doprowadzi do równania wielomianowego czwartego stopnia...

Pozdrawiam

Dziękuję. Równanie jest fantastyczne

\(\displaystyle{ \left( t-1\right)\left[ \left( 1- \sqrt{3} \right)t^3+\left( -5-\sqrt{3}\right)t^2+\left( -3-\sqrt{3}\right)t-1-\sqrt{3} \right]=0 }\)