Matematyka.pl

\(\displaystyle{
\sum_{n=1 }^{ \infty } \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n ^{3} }
}\)
według kryterium Cauchy'ego
\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a _{n} } =g
}\)
czyli wszystko idzie pod pierwiastek i wychodzi mi
\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty } \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} }\right)^{3} = \frac{1}{4}
}\)
gdzie cała granica wychodzi
\(\displaystyle{

\frac{1}{4} <1 }\)
czyli szereg powinien być zbieżny,
gdzie popełniam bład ?
w odpowiedziach jest rozbieżny

Robisz błąd rachunkowy. Pokaż jak liczysz

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n^3}\right)^{\frac{1}{n}} .}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: 25 paź 2019, o 17:55 Robisz błąd rachunkowy. Pokaż jak liczysz

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{4 ^{n} } \cdot \left( \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2} } \right)^{n^3}\right)^{\frac{1}{n}} .}\)

JK

czyli
\(\displaystyle{
\sqrt[n]{ \frac{1}{4 ^{n} }\cdot \left( \frac{n ^{2} +3}{n ^{2} } \right) } ^{n ^{3} } = \frac{1}{4 }} \cdot \left( \frac{n ^{2} +3}{n ^{2} } \right) ^{n ^{2}



}\)

No to teraz zbadaj tę granicę.