Matematyka.pl

Mam funkcję dwóch zmiennych \(\displaystyle{ f(x,y) = \min(2x+y,x+2y)}\). Zastanawiam się w jaki sposób sprawdzić czy jest wypukła, czy wklęsła? We wcześniejszych przykładach używałem Hessiana, lecz ponieważ funkcja minimum jest nieróżniczkowalna - ta metoda chyba zawodzi? Na internecie nie mogłem znaleźć jednej, konkretnej odpowiedzi.

Znalazłem natomiast kontrprzykład dla wypukłości, \(\displaystyle{ (1,3),(3,1)}\) oraz \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2} }\) . Wtedy \(\displaystyle{ g(tf(x,y) + (1-t)f(x,y))=g\left( \frac{1}{2} {1 \choose 3} + \frac{1}{2} {3 \choose 1}\right) = f(2,2) = 6 \nleq 5 = \frac{1}{2} f(1,3) + \frac{1}{2}f(3,1)= \frac{1}{2}g\left( {1 \choose 3}\right)+ \frac{1}{2} g\left( {3 \choose 1}\right) = tg(f(x,y)) + (1-t)g(f(x,y)) }\)

Co oznaczałoby, że \(\displaystyle{ f}\) nie jest wypukła. Jak zatem sprawdzić czy na pewno jest wklęsła?

Oraz, jak to jest z funkcją minimum (albo maksimum) w ogólności? Zakładam, że wszystko zależy od tego, co jest minimalizowane? Znalazłem przykład \(\displaystyle{ f(x)=\min(e^x,x+1)}\), która (według kogoś) jest wypukła.

Funkcja binarna minimum (tj. z \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) w \(\displaystyle{ \RR}\)) jest ciągła, a jeśli funkcja jest ciągła, to wystarczy sprawdzić z definicji wypukłość/wklęsłość ze współczynnikami równymi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Może to coś da…

Dodano po 3 minutach 51 sekundach:
A poza tym w tym Twoim przykładzie, to ze znanej nierówności w rzeczywistych \(\displaystyle{ e^{x}\ge x+1}\) wynika, że
\(\displaystyle{ \min\left\{e^{x}, x+1\right\}=x+1}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\).

Nie piszesz czym jest \(g\) w Twoim rozwiązaniu, więc ciężko cokolwiek powiedzieć. Wydaje się jednak, że nie to sprawdzasz, co trzeba.

Najprośćiej chyba jest zauważyć, że funkcję można zapisać tak:
$$f(x,y)=\begin{cases}2x+y & x\leq y\\ 2y+x & x>y\end{cases}$$
Stąd wniosek, że wykres tej funkcji jest takim dwuspadowym daszkiem (albo klinem) z krawędzią nad główną przekątną.
Dla par punktów, które leżą poniżej owej krawędzi, jak również tych co leżą powyżej w nierówności wystąpi oczywiście równość. Dla dwóch punktów leżących po przeciwnych stronach przekątnej nierówność będzie oczywiście ostra, ale skierowana tak samo dla każdej pary. W którą stronę będzie skierowana? Sprawdź sam