objetosc torusa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

objetosc torusa

Post autor: przemk20 » 11 paź 2007, o 16:18

:arrow: Oblicz objetosc torusa powstalego przez obrot kola a promieniu r dookola osi odleglej o R od srodka kola, R>>r
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

objetosc torusa

Post autor: luka52 » 11 paź 2007, o 16:31

Hmm... a koniecznie należy skorzystać z rachunku całkowego?
Bo jeżeli nie, to wystarczy skorzystać z Drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina (więcej m.in na :arrow: http://en.wikipedia.org/wiki/Pappus's_centroid_theorem )

PS. A jeżeli zależy Ci na obliczeniach z całką, przejrzyj :arrow: http://mathworld.wolfram.com/Torus.html

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

objetosc torusa

Post autor: przemk20 » 11 paź 2007, o 16:48

Chodzi mi raczej o obliczenie tego calką( pojedyncza )

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

objetosc torusa

Post autor: luka52 » 11 paź 2007, o 17:03

W takim razie dzielimy torus na nieskończenie wiele walców o polu podstawy \(\displaystyle{ \pi r^2}\) i wysokości \(\displaystyle{ R \, \mbox{d}\theta}\) i całkujemy:
\(\displaystyle{ V = t\limits_0^{2 \pi} \pi r^2 R \, \mbox{d}\theta = 2 \pi^2 r^2 R}\)

ODPOWIEDZ