romb, czworokąt i okrąg - zadanka

[shymo]

1. Jedna z przekatnych rombu jest 2 razy dluzsza od drugiej. Wyznacz stosunek obwodu rombu do sumy jego przekatnych,

2. Przekatna AC czworokata ABCD wpisanego w okrag o srodku S jest srednica tego okregu. Wiedzac ze miara kata BSD wynosi 100 stopni oblicz miary katow czworokata ABCD


3. wyznacz rownanie okregu przechadzacego przez punkty: A=(0,0) B=(2,0) C=(3,-3)


4. NA okregu obrano punkty A B C i D ktore podzielily okrag na czesci w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary katow czworokata ABCD


Prosze o szybka pomoc. Z gory dziekuje.

[Lady Tilly]

1)
Przekatne rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym
x to krótsza przekątna
2x dłuższa
a to bok
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}x)^{2}+x^{2}=a^{2}}\)
więc \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}x=a}\) stąd obwód \(\displaystyle{ Obw=4a=2\sqrt{5}x}\)
suma przekątnych to 3x a stosunek to
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{5}x}{3x}=\frac{2}{3}\sqrt{5}}\)

[raidmaster]

Zadanie 2. Na moje oko:

Jeżeli przekątna AC jest jednocześnie średnicą czworokąta, to w myśl twierdzenia że kąty oparte na średnicy są proste to DCB i CBA mają po \(\displaystyle{ 90^{o}}\)
Kąt BSD jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt DCB. A że kąt DCB jest kątem wpisanym, więc jest on o połowę mniejszy od kąta BSD. Tak więc skoro BSD ma \(\displaystyle{ 100^{o}}\) to DCB ma \(\displaystyle{ 50^{o}}\) Ostatni kąt jest już banalnie obliczyć.
Kąt BAD =\(\displaystyle{ 360^{o} - 2*90^{o}+50^{o} = 130^{o}}\)


Zad. 3
Po podstawieniu punktów do równania okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} c=0\\4-4a=0\\12+6b=0\end{cases}}\)

Równanie okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5}\)