Matematyka.pl

Dzień dobry,

chciałbym abyście zweryfikowali mój tok rozumowania.

Chcę rozwinąć w szereg Fouriera i policzyć pewne parametry sygnału podanego o \(\displaystyle{ A=1}\) i \(\displaystyle{ T=1}\). Sygnał jest funkcją nieparzystą więc wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ a=0}\).

Zatem liczymy

\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{2}{T} \cdot \int_{0}^{T}x(t) \cdot \cos( \omega \cdot t) \dd t \\
\omega= \frac{2 \cdot \pi }{T} }\)

\(\displaystyle{ b _{1}=2 \cdot \left[ \int_{0}^{0,5} 1 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t ) \dd t + \int_{0,5}^{1} -1 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t ) \dd t\right] = \frac{4}{ \pi } }\)

Następnie chcę wyliczyć moce harmonicznej

\(\displaystyle{ P _{1}=\left\langle x^2\right\rangle = \frac{1}{2} \cdot ( a_{1}^{2}+b_{1}^{2}) \approx 0,81 }\)

Chcę też wyliczyć widmo amplitudowe oraz fazowe. Nie wiem czy idę dobrze tropem i interpretuje wzory.

Spotkałem się ze wzorem gdzie widmo amplitudowe \(\displaystyle{ F_{n}= \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} }\)

oraz
widmo fazowe

\(\displaystyle{ \psi=\arccos( \frac{a_{n}}{b_{n}} )}\)

Czy trzeba korzystać z zespolonego szeregu Fouriera?

Nie trzeba, choć można wykorzystać postać zespoloną szeregu Fouriera. Wtedy łatwiej oblicza się współczynniki rozwinięcia \(\displaystyle{ c_{n},\ \ n= 0,1,2,... }\). Przy składaniu sygnału z jego składowych harmonicznych i tak korzystamy z funkcji trygonometrycznych kosinus, sinus.

Wzory na widmo amplitudowe i fazowe są prawidłowe.

Jeszcze mam jedno pytanie. Co jeśli współczynniki a i b są zerem?

Wtedy widmo amplitudowe i fazowe jest zerowe dla każdej składowej harmonicznej.

A jeśli chciałbym przejść na postać widmową sygnału czyli
\(\displaystyle{ X(\omega)=\left| X(\omega)\right| \cdot e^{j \cdot \psi \cdot (\omega)} }\) albo

\(\displaystyle{ X(\omega)=ReX(\omega)+jImX(\omega)}\)
to istnieje łatwa zależność pomiędzy danymi o których wyżej wspomniałem?


Spotkałem się z takim wyrażeniem ale nie wiem czy one jest poprawne
\(\displaystyle{ X _{1}= \frac{1}{2} \cdot (a_{1}+jb_{1} ) }\)


Pozdrawiam