Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x) = x^{-2x}}\)

zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne tej funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=e^{-2x\ln{x}}}\)
teraz zeby obliczyc ekstrema liczyc pierwsza pochodna tzn musisz znalezsc miejsca zerowe f'(x)
nastepnie zeby zbadac monotonicznosc policz f''(x) i sprawdz na ktorych przedzialach jest dodatania a na ktorych ujemna ;D powodzenia btw taka pochodna liczyc sie tak
\(\displaystyle{ (e^{a})'=a'e^{a}}\)

mozesz pokazać jak policzyć te przedziały? I ile Ci wyszło

To moze zrobie ja:
\(\displaystyle{ f(x)=e^{-2x\ln{x}}\quad D_{f}=\mathbb{R}^+ \\
f'(x)=e^{-2x\ln{x}}\cdot (-2lnx-\frac{2x}{x})=
e^{-2x\ln{x}}\cdot (-2lnx-2)\quad D_{f'}=\mathbb{R}^+\\
f'(x)=0\ \iff e^{-2x\ln{x}}\cdot (-2lnx-2)=0\ \forall_{x\in\mathbb{R}^+} e^{-2x\ln{x}}>0\\
-2lnx-2=0\\
-2(lnx+1)=0\\
lnx=-1\\
x=e^{-1}\\
f\nearrow\ (0;\frac{1}{e})\\
f\searrow\ (\frac{1}{e};+\inftry)\\
f_{max}=f(\frac{1}{e})\\}\)

POZDRO

chodzi mi o to jak zauważyć, że w danych przedziałach ta funkcja jest rosnąca lub malejąca

Najlatwiej naszkicowac sobie wykres pochodnej tej funkcji. Nalezy pamietac, ze bedzie ona odwrocona. Tam, gdzie wartosci sa dodatnie funkcja bedzie rosnaca, a tam gdzie bedzie ujemna - rosnaca. POZDRO