Warunek Lipschitza, wykres funkcji i obraz zbioru
: 14 paź 2019, o 12:31
Proszę o sprawdzenie dwóch zadań oraz wskazówkę do trzeciego:
1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L>0}\). Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero.
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}}\) będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{I_k\right\}_{k=1}^{\infty}}\) taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k \supset A}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\mbox{Vol}(I_k)<\frac{\varepsilon}{L}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right) \supset f(A)}\), a ponadto z własności obrazu \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} f(I_k)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) w oczywisty sposób jest ciągła, zatem obraz przedziału zawsze jest przedziałem. A to oznacza, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{f(I_k)\right\}_{k=1}^{\infty}}\) jest przeliczalną rodziną przedziałów pokrywającą zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\). Teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mbox{Vol}\left(f(I_k)\right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} L\cdot\mbox{Vol}(I_k)=L\cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon}\).
Zatem rzeczywiście miara zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) jest równa zero.
2. Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że miara wykresu tej funkcji wynosi zero.
Ustalmy przedział \(\displaystyle{ [a,b]\subset (0,1)}\). Pokażemy, że miara wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi zero. Przedział domknięty na prostej jest zbiorem zwartym, zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jako ciągła, jest na nim jednostajnie ciągła. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Wobec jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in[a,b]}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon}\), o ile tylko \(\displaystyle{ |x-y|\leq\delta}\). Niech teraz \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\delta}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ \left\{P_k\right\}}\) taką, że \(\displaystyle{ P_k=\left[a+(b-a)\frac{k-1}{n},a+(b-a)\frac{k}{n}\right] \times \left[f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)-\varepsilon,f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right]}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ G}\) oznaczymy wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), to \(\displaystyle{ G\subset \bigcup_{k=1}^n P_k}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\leq l_1(G)=l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right)\leq \sum_{k=1}^n l_1\left(P_k\right)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot 2\varepsilon=2\varepsilon.}\)
Przechodząc teraz z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ l_1(G)=0}\).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) i że wobec powyższego wykres funkcji na każdym przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) ma miarę zero, z czego wynika już teza.
3. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) będzie funkcją ciągłą i niech obraz każdego zbioru miary zero będzie zbiorem miary zero. Pokazać, że obraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym.
Tutaj próbowałem z kilku różnych warunków mierzalności skorzystać i z dwóch równoważnych definicji ciągłości, ale niestety bez skutku
1. Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L>0}\). Pokazać, że obraz zbioru miary zero jest obrazem miary zero.
Niech \(\displaystyle{ A\subset \mathbb{R}}\) będzie zbiorem miary Lebesgue'a zero. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje przeliczalna rodzina przedziałów \(\displaystyle{ \left\{I_k\right\}_{k=1}^{\infty}}\) taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k \supset A}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}}\mbox{Vol}(I_k)<\frac{\varepsilon}{L}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right) \supset f(A)}\), a ponadto z własności obrazu \(\displaystyle{ f\left(\bigcup_{k\in \mathbb{N}} I_k\right)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}} f(I_k)}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) w oczywisty sposób jest ciągła, zatem obraz przedziału zawsze jest przedziałem. A to oznacza, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{f(I_k)\right\}_{k=1}^{\infty}}\) jest przeliczalną rodziną przedziałów pokrywającą zbiór \(\displaystyle{ f(A)}\). Teraz:
\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{N}} \mbox{Vol}\left(f(I_k)\right) \leq \sum_{k\in\mathbb{N}} L\cdot\mbox{Vol}(I_k)=L\cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon}\).
Zatem rzeczywiście miara zbioru \(\displaystyle{ f(A)}\) jest równa zero.
2. Niech \(\displaystyle{ f:(0,1)\rightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Pokazać, że miara wykresu tej funkcji wynosi zero.
Ustalmy przedział \(\displaystyle{ [a,b]\subset (0,1)}\). Pokażemy, że miara wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) obciętej do przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\) wynosi zero. Przedział domknięty na prostej jest zbiorem zwartym, zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jako ciągła, jest na nim jednostajnie ciągła. Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Wobec jednostajnej ciągłości istnieje \(\displaystyle{ \delta>0}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in[a,b]}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon}\), o ile tylko \(\displaystyle{ |x-y|\leq\delta}\). Niech teraz \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}<\delta}\). Rozważmy rodzinę prostokątów \(\displaystyle{ \left\{P_k\right\}}\) taką, że \(\displaystyle{ P_k=\left[a+(b-a)\frac{k-1}{n},a+(b-a)\frac{k}{n}\right] \times \left[f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)-\varepsilon,f\left(a+(b-a)\frac{k}{n}\right)+\varepsilon\right]}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\). Jeżeli przez \(\displaystyle{ G}\) oznaczymy wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\), to \(\displaystyle{ G\subset \bigcup_{k=1}^n P_k}\). Zatem:
\(\displaystyle{ 0\leq l_1(G)=l_1\left(\bigcup_{k=1}^n P_k\right)\leq \sum_{k=1}^n l_1\left(P_k\right)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\cdot 2\varepsilon=2\varepsilon.}\)
Przechodząc teraz z \(\displaystyle{ \varepsilon}\) do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ l_1(G)=0}\).
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ (0,1)=\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) i że wobec powyższego wykres funkcji na każdym przedziale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]}\) ma miarę zero, z czego wynika już teza.
3. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) będzie funkcją ciągłą i niech obraz każdego zbioru miary zero będzie zbiorem miary zero. Pokazać, że obraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym.
Tutaj próbowałem z kilku różnych warunków mierzalności skorzystać i z dwóch równoważnych definicji ciągłości, ale niestety bez skutku