Matematyka.pl

Nie rozumiem w pełni poniższego dowodu.

Lemat. Jeśli \(\displaystyle{ F:[0, 1]^2\to X}\) jest ciągła, \(\displaystyle{ a(t) = F(0, t), b(t) = F(1, t), c(s) = F(s, 0), d(s) = F(s, 1)}\), to \(\displaystyle{ d}\) jest homotopijne z \(\displaystyle{ a^{-1}cb}\) względem \(\displaystyle{ \{0, 1\}}\).

Tu \(\displaystyle{ a^{-1}}\) znaczy krzywą o przeciwnym kierunku.

Twierdzenie. Przestrzeń ściągalna jest jednospójna.

Dowód: Niech \(\displaystyle{ x_0\in X, s}\) to pętla o początku w \(\displaystyle{ x_0}\). Istnieje \(\displaystyle{ F}\) z lematu, taka że \(\displaystyle{ c = x_0, d = s, a = b}\) (ponieważ \(\displaystyle{ s}\) indukuje odwzorowanie okręgu w \(\displaystyle{ X}\), homotopijne z odwzorowaniem stałym w \(\displaystyle{ x_0}\)). Na mocy lematu, \(\displaystyle{ s}\) jest homotopijna zeru.

Nie rozumiem dlaczego można wziąć \(\displaystyle{ a = b}\), oraz komentarza w nawiasie.

Adam-m pisze: ↑13 paź 2019, o 16:45 \(\displaystyle{ s}\) indukuje odwzorowanie okręgu w \(\displaystyle{ X}\), homotopijne z odwzorowaniem stałym w \(\displaystyle{ x_0}\)

\(\displaystyle{ s:[0,1]\to X}\) i \(\displaystyle{ s(0)=s(1)=x_0}\). Gdy zlepimy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) w dziedzinie (odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\)) w jeden punkt \(\displaystyle{ z}\), to dostaniemy okrąg i indukowane odwzorowanie \(\displaystyle{ s'}\) z okręgu w \(\displaystyle{ X}\) takie, że \(\displaystyle{ s'(z)=s(0)=s(1)}\). Z jednospójności, odwzorowanie \(\displaystyle{ s'}\) jest homotopijne odwzorowaniu stałemu \(\displaystyle{ z\mapsto x_0}\). Gdy odczyta się odpowiednią homotopię w terminach lematu to dostaniemy \(\displaystyle{ F}\) jak w lemacie takie, że \(\displaystyle{ c:[0,1]\to X}\) jest stale równe \(\displaystyle{ x_0}\), podobnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (więc \(\displaystyle{ a=b}\)) oraz \(\displaystyle{ d=s}\), no i lemat daje nam, że \(\displaystyle{ s=d}\) jest homotopijna z \(\displaystyle{ c}\). Jeśli nie widzisz, zrób sobie rysunek.

Istnieje homotopia \(\displaystyle{ G : X \times [0, 1] \to X}\), taka że \(\displaystyle{ G(x, 0) = x_0}\) oraz \(\displaystyle{ G(x, 1) = x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\). Obcięcie tej homotopii do \(\displaystyle{ s}\), czyli funkcja \(\displaystyle{ F : [0, 1] \times [0, 1] \to X}\) dana wzorem \(\displaystyle{ F(r, t) = G(s(r), t)}\), ma żądane własności.

A mówiąc intuicyjnie, droga, jaką przebywa pętla \(\displaystyle{ s}\), podczas gdy przestrzeń jest ściągana do punktu, daje się przedstawić jako funkcja \(\displaystyle{ F : [0, 1]^2 \to X}\), taka że \(\displaystyle{ F(\cdot, t)}\) to przebieg pętli \(\displaystyle{ s}\) w chwili \(\displaystyle{ t}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest drogą przebytą przez punkt \(\displaystyle{ s(0)}\), czyli początek pętli, natomiast \(\displaystyle{ b}\) jest drogą przebytą przez \(\displaystyle{ s(1),}\) czyli koniec pętli. Jednak zarówno początkiem, jak i końcem pętli jest punkt \(\displaystyle{ x_0}\), a więc zarówno \(\displaystyle{ a}\), jak i \(\displaystyle{ b}\) są drogami punktu \(\displaystyle{ x_0}\) w trakcie homotopii, a zatem \(\displaystyle{ a = b}\).

Komentarz w nawiasie raczej służy pobudzeniu wyobraźni, niż stanowi pośredni krok w formalnym dowodzie, bo w zasadzie jest przeformułowaniem tezy, która na tym etapie nie została jeszcze dowiedziona.

krl pisze: ↑13 paź 2019, o 18:02Z jednospójności, odwzorowanie \(\displaystyle{ s'}\) jest homotopijne odwzorowaniu stałemu \(\displaystyle{ z\mapsto x_0}\).

Korzystanie z tezy jest nieuczciwe.

Dziękuję obu Panom. Jestem pewien że krl chodziło o ściągalność, wcześniej było ćwiczenie że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest ściągalna, a \(\displaystyle{ Y}\) dowolna, to dowolne odwzorowania ciągłe \(\displaystyle{ f, g:Y\to X}\), są homotopijne, i na odwrót.

Życzę miłego dnia