ciąg arytmetyczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
majkel4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 11 paź 2007, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nikąd
Podziękował: 2 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: majkel4 » 11 paź 2007, o 10:30

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ n}\) współczynniki \(\displaystyle{ 2,3,4}\) wyrazu rozwinięcia \(\displaystyle{ (a+b)^n}\) tworzą ciąg arytmetyczny?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: Sylwek » 11 paź 2007, o 13:52

Drugi współczynnik to: \(\displaystyle{ {n\choose 1}}\), trzeci to: \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\), czwarty: \(\displaystyle{ {n\choose 3}}\). Skoro te wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny, to:

\(\displaystyle{ 2 {n\choose 2}={n\choose 1}+{n\choose 3}, \ n q 3 \\ \frac{2 n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{3!(n-3)!} \\ \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} \\ n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \\ 6n(n-1)=6n+n(n-1)(n-2)}\)

A to już jest proste do rozwiązania . Wychodzi:
\(\displaystyle{ n=0 n=2 n=7}\)

Ale, że n jest co najmniej trójką, to w ostateczności n=7

majkel4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 11 paź 2007, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nikąd
Podziękował: 2 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: majkel4 » 13 paź 2007, o 22:04

dzięki

ODPOWIEDZ