Matematyka.pl

Proszę wykazać przez indukcję ze względu na \(\displaystyle{ n}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) i każdego \(\displaystyle{ x \neq 1}\):
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{n}= \frac{x ^{n+1}-1 }{x-1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) oczywiście spełnione.
Teraz przyjmuję \(\displaystyle{ n=k}\) i zakładam:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}= \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) ma zachodzić:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}+x^{k+1}= \frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)
Wykorzystując założenie:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1}+x ^{k+1}=\frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)
Stąd po włączeniu \(\displaystyle{ x ^{k+1}}\) do licznika otrzymuję L=P.
Czy jest to poprawny sposób rozwiązania zadania indukcyjnego?

Rachunki ok, ale opis jest niezbyt poprawny.

Bozydar12 pisze: 6 paź 2019, o 18:01Teraz przyjmuję \(\displaystyle{ n=k}\) i zakładam:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}= \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1} }\)
Dla \(\displaystyle{ n=k+1}\) ma zachodzić:
\(\displaystyle{ 1+x+x ^{2}+...x ^{k}+x^{k+1}= \frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)

Mnie taki opis zawsze zgrzyta, ale wiem, że niektórzy tak są uczeni dowodów indukcyjnych (choć mam nieodparte wrażenie, że niekoniecznie wiedzą, na tym ten dowód polega).

Bozydar12 pisze: 6 paź 2019, o 18:01Wykorzystując założenie:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{k+1}-1 }{x-1}+x ^{k+1}=\frac{x ^{k+2}-1 }{x-1} }\)

No i tak nie możesz napisać bez wyraźnego zaznaczenia, że przekształcasz tezę indukcyjną równoważnie (bo tak jak jest to wygląda na wnioskowanie z tezy, czego - jak wiadomo - nie wolno robić). Dużo lepiej zacząć od lewej strony, po drodze wykorzystać założenie indukcyjne i dojść do prawej strony.

No i wypadałoby powołać się na zasadę indukcji matematycznej...

JK