Matematyka.pl

Rodzinę elementarną nazywamy rodzinę \(\displaystyle{ \epsilon}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) taką, że:
a) \(\displaystyle{ \emptyset\in\epsilon}\)
b) \(\displaystyle{ A, B\in\epsilon}\), to \(\displaystyle{ A \cap B\in\epsilon}\)
c) \(\displaystyle{ A\in\epsilon}\), to \(\displaystyle{ A^c(=X \setminus A)}\) jest skończoną sumą rozłącznych elementów rodziny \(\displaystyle{ \epsilon}\)
Proszę o pomoc w tym aby dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest rodziną elementarną, to rodzina \(\displaystyle{ A}\) skończonych sum rozłącznych zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \epsilon}\) jest algebrą.

Oznaczenie rodziny skończonych sum rozłącznych zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \epsilon}\) jako \(\displaystyle{ A}\) nie jest dobrym pomysłem, więc proponuję \(\displaystyle{ \zeta}\).

1. Spróbuj pokazać, że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in \zeta}\) jest \(\displaystyle{ A \cap B \in \zeta}\).
2. Postaraj się wykazać, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \zeta}\) mamy \(\displaystyle{ A^c \in \zeta}\).