Matematyka.pl

Witam
No więc... Narysowano kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). Z każdego kąta poprowadzono linię do środka boku przeciwległego boku. \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ |AD|}\) z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ |DC|}\), \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ |BC|}\) z \(\displaystyle{ D}\) do \(\displaystyle{ |BA|}\).

W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\).
a) udowodnij, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ABCD}\).
b) oblicz pole \(\displaystyle{ EFGH}\) w zależności od \(\displaystyle{ a}\).
Pierwszy podpunkt zrobiłam, ale drugiego nie umiem, prosze o pomoc.
Nie wiem, czy da się wstawiać na tym forum obrazki, chyba nie.

Trochę dziwny ten podpunkt a) bo każde dwa kwadraty zawsze są podobne więc nie ma czego pokazywać.
b) zauważ, że bok małego kwadratu to rzut \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) na prostą która jest bokiem małego kwadratu. By wyznaczyć długość tego rzutu można pomnożyć \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) z \(\displaystyle{ \cos }\) kąta jaki tworzą linie dzielące boki na pół z liniami dużego kwadratu. Mamy ostatecznie \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5} }= \frac{a}{ \sqrt{5} } }\) więc pole to \(\displaystyle{ \frac{a^2}{5} }\)

\(\displaystyle{ \cos}\) kąta liczę z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.

Ahh, tak, kwadraty są podobne.
A mógłbyś wyjaśnić dokładniej? O co chodzi z tym rzutem?
EDIT: Ale wynik jak najbardziej poprawny.

Postępuje tak:
1) Wyznaczam kosinus kąta jaki tworzy odcinek \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz odcinek zaczynający się w \(\displaystyle{ A}\) i kończący w środku \(\displaystyle{ |BC|}\). To robię z definicji kosinusa
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{ \sqrt{a^2+ \frac{a^2}{4} } }= \frac{2}{ \sqrt{5} } }\)
2) Wyznaczam bok małego kwadratu jako rzut \(\displaystyle{ \frac{a}{2} }\) na odcinek zaczynający się w \(\displaystyle{ A}\) i kończący w środku \(\displaystyle{ |BC|}\) czyli właśnie \(\displaystyle{ \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{ \sqrt{5} }= \frac{a}{ \sqrt{5} } }\) i to jest bok kwadratu małego.

Ok, nie wiem/nie rozumiem, co to jest rzut...

zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny

Ok, przeczytałam, ale jak się to ma do naszego kwadratu?

Janusz Tracz pisze: ↑27 wrz 2019, o 20:21 zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku
Hmm... Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑27 wrz 2019, o 20:40
Janusz Tracz pisze: ↑27 wrz 2019, o 20:21 zobacz " Interpretacja geometryczna" w tym linku
Hmm... Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?

JK

Zgadzam się, proszę o jakieś prostsze rozwiązanie.

Czy to nie jest ciut zbyt zaawansowane na liceum?

Mi chodzi tylko o ten mały obrazek z boku. Poza tym to równoważnie można skorzystać z definicji kosinusa jedynie nazwałem to rzutem choć nie musiałem. Więc nie ma tu pojęć innych od poznawanych w 1 i 2 klasie liceum.

Zgadzam się, proszę o jakieś prostsze rozwiązanie.

Proszę nie usprawiedliwiaj nieznajomości definicji kosinusa słowami JK i jeszcze raz przeczytaj ze zrozumieniem co pisałem. W razie pytań precyzyjnie sformuj z czym jest problem. Zrób rysunek i powoli to prześledź bo prawdopodobnie nie rozumiesz też o których odcinkach, kątach itp. mówię.

PS Nie uważam przy tym, że to rozwiązanie jest najlepsze ale jest szybkie.

Wiem, co to jest cosinus, ale nie umiem go używać... Na razie mieliśmy tylko definicje cosinusów, w sensie, że to jest taka proporcja, ale nic o rzutach nie miałam.

A poza tym to nie jest z tematu o cosinusach, więc musi być coś prostszego. Proszę.
EDIT:
A dobra, widzę rysunek. Że długość wektora A pomnożona przez cosinus tego dziwnego kąta jest rzutem a na b. Co to jest rzut i jak się ma to do naszego rysunku.
Oczywiście, że mam rysunek, ale w zeszycie.

Pan Janusz Tracz pisze:
"Trochę dziwny ten podpunkt a) bo każde dwa kwadraty zawsze są podobne więc nie ma czego pokazywać".
A skąd wiedza, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem? Tego trzeba dowieść.

kruszewski pisze: ↑27 wrz 2019, o 22:39 A skąd wiedza, że \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem?

Z treści zadania?

Niepokonana pisze: ↑27 wrz 2019, o 18:08Narysowano kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku \(\displaystyle{ a}\). Z każdego kąta poprowadzono linię do środka boku przeciwległego boku. \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ |AD|}\) z \(\displaystyle{ B}\) do \(\displaystyle{ |DC|}\), \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ |BC|}\) z \(\displaystyle{ D}\) do \(\displaystyle{ |BA|}\).

W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\).

No chyba, że treść zadania była inna.

JK

Mam wrażenie, że zdanie :"W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\) nie jest zdaniem z oryginalnej treści zadania. Stąd dyskutowane polecenie.
A rysunek przypomina rysunek dowodu Bhaskary twierdzenia Pitagorasa.

kruszewski pisze: ↑28 wrz 2019, o 00:49 Mam wrażenie, że zdanie :"W środku powstał mały kwadrat o nazwie \(\displaystyle{ EFGH}\) nie jest zdaniem z oryginalnej treści zadania.

Może tak być, ale to pytająca powinna zadbać o przedstawienie dokładnego sformułowania zadania.

JK

Matematyka.pl

Pole małego kwadratu w zależności od a

Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a

Re: Pole małego kwadratu w zależności od a