Zbiór A zlożony z liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
esberitox
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 14 gru 2006, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 8 razy

Zbiór A zlożony z liczb zespolonych

Post autor: esberitox » 10 paź 2007, o 22:37

jak naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z dla których liczba \(\displaystyle{ w=\frac{z+3}{z-4j}}\) jest czysto urojona
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Zbiór A zlożony z liczb zespolonych

Post autor: scyth » 11 paź 2007, o 00:43

Niech \(\displaystyle{ z=a+ib, \ z \ne 4i}\). Liczymy w:
\(\displaystyle{ \frac{z+3}{z-4i}=\frac{(a+3)+ib}{a+i(b-4)}=\frac{[(a+3)+ib]\cdot[a-i(b-4)]}{[a+i(b-4)]\cdot[a-i(b-4)]}
=\\=\frac{(a^2+3a+b^2-4b)+i(ab-(a+3)(b-4))}{a^2+(b-4)^2}}\)

Cześć rzeczywista ma być równa 0, więc:
\(\displaystyle{ a^2+3a+b^2-4b=0 \\
(a+1,5)^2+(b-2)^2=2,5^2}\)

A więc rozwiązaniem jest okrąg o środku w punkcie (-1,5;2) i promieniu 2,5. Oczywiście najpierw trzeba sprawdzić, że na tym okręgu część urojona jest różna od zera - to pozostawiam Tobie (przyrównaj część urojoną do zera i sprawdź, czy otrzymane a i b należą do danego okręgu).

ODPOWIEDZ