Matematyka.pl

Obliczyć ile \(\displaystyle{ \Delta E}\) należałoby zużyć, aby przenieść księżyc z jego orbity okołoziemskiej do nieskończoności. Masa Księżyca \(\displaystyle{ M_{k} =7,34\cdot 10^{22} }\) , a odległość Księżyca od Ziemi wynosi średnio \(\displaystyle{ R=3.84\cdot 10^8}\). Sporządzić wykres energii całkowitej Księżyca w polu grawitacyjnym Ziemi od jego odległości od środka Ziemi i zaznaczyć na wykresie wartość energii jaka trzeba dostarczyć Księżycowi, aby go przenieść do nieskończoności. Proszę o obliczenie \(\displaystyle{ Δ E}\) , a wykres postaram się sam Zrobić. Będę wdzięczny za wszelkie próby pomocy.

Wskazówka

Całkowita zmiana energii \(\displaystyle{ \Delta E, }\) jaką należy zużyć, by "przenieść" Księżyc z orbity okołoziemskiej do nieskończoności, jest równa różnicy całkowitej energii Księżyca na orbicie okołoziemskiej i w nieskończoności.
Energia całkowita natomiast równa się sumie energii kinetycznej i potencjalnej na danej orbicie \(\displaystyle{ E_{c} =... ?}\)

Drugi sposób

Całkowita zmiana energii \(\displaystyle{ \Delta E }\) jest równa pracy \(\displaystyle{ W, }\) jaką należy wykonać przeciwko...., by "przenieść" Księżyc z orbity okołoziemskiej do nieskończoności \(\displaystyle{ \Delta E = W = ...?}\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \Delta E = M_{K} \frac{g_{Z} R^2_{Z}}{2 R} \approx 38,78 \cdot 10^{27} J. }\)

Ok, w takim razie gdzie robię błąd
\(\displaystyle{ \Delta E =E_{Ck}-E_{Cp}}\)
, gdzie \(\displaystyle{ E_{Ck}}\) - energia całkowita Księżyca w nieskończoności
\(\displaystyle{ E_{Cp}}\) - energia całkowita Księżyca na orbicie okołoziemskiej
\(\displaystyle{ E_{Ck}=E_{Pk}+E_{Kk}}\)
\(\displaystyle{ E_{Pk}= 0}\), ponieważ w nieskończoności energia potencjalna ma wartość równa zeru, czyli największą możliwa wartość
\(\displaystyle{ E_{Kk}= 0}\), ponieważ przyjmujemy że prędkość w nieskończoności jest równa zeru
Natomiast,
\(\displaystyle{ E_{Kp}= \frac{mV^2}{2}\\
E_{Pp} = - G \frac{Mm}{R+h} }\)
Czyli,
\(\displaystyle{ \Delta E = 0- \left( \frac{mV^2}{2}- G\frac{Mm}{R+h}\right) }\)
I co dalej?

Prędkość \(\displaystyle{ V }\) wyznaczamy stąd, że siła dośrodkowa działająca na Księżyc
równa się sile przyciągania grawitacyjnego Ziemi.