Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametru równanie \(\displaystyle{ (m+3)x^{2} + mx + 1 = 0}\) ma dwa różne pierwiastki spełniające nierówność \(\displaystyle{ |x_{1}|+|x_{2}|\le1}\).

Pierwszy warunek zwany deltą już sobie policzyłam, tylko mam problem z drugim. Założenie \(\displaystyle{ m\neq-3}\), bo inaczej funkcja jest liniowa.

Podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+2|x_{1}x_{2}| \le 1}\)
\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+2|x_{1}x_{2}| \le 1}\) Już mamy wzory Viete'a...
\(\displaystyle{ \left(\frac {-b}{a}\right)^{2}-2\frac{c}{a}+2\left|\frac{c}{a}\right|\le 1}\)

Proszę rozwiążcie mi to powstałe równanie, bo i powiedzcie, czy tyle założeń wystarczy, czy jeszcze trzeba coś dopisać?

Rozważ przypadki \(m+3>0\) oraz \(m+3<0\) i już.

Podstawa teoretyczna jest dobra. Mamy bowiem \(0\leqslant u\leqslant 1\iff 0\leqslant u^2\leqslant 1.\)

No dobrze, ale to są trudne przypadki, bo ciągle w mianowniku mamy \(\displaystyle{ m+3}\), jak to zrobić?
Ano, znam taką zależność.
EDIT: nieważne, nieważne.

Niepokonana pisze: 20 wrz 2019, o 17:55 No dobrze, ale to są trudne przypadki, bo ciągle w mianowniku mamy \(\displaystyle{ m+3}\), jak to zrobić?

Trudne?!

Jeden przypadek upraszcza się, w drugim mnożysz obie strony nierówności przez \(\displaystyle{ (m+3)^2}\). Nie narzekaj ogólnie, tylko pokaż jak liczysz i ew. wskaż konkretnie, co miałoby być trudne.

JK

No dobrze...
Dla \(\displaystyle{ m<-3}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{m^{2}-4m-6}{(m+3)^{2}}\le1}\)
Potem mamy \(\displaystyle{ m^{2}-4m-6 \le m^{2}+6m+9}\) Daje nam to \(\displaystyle{ m\ge-1,5}\) co jest sprzeczne z dziedziną

Dla \(\displaystyle{ m>-3}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{m^{2}}{(m+3)^{2}}\le1}\) Co też nam daje \(\displaystyle{ m\ge-1,5}\) co jest zgodne z dziedziną. Po zrobieniu tej części wspólnej z deltą wychodzi mi nawet poprawny według podręcznika wynik. Czy to wszystko jest poprawne? Bo jeśli tak, to to było łatwiejsze, niż mi się zdawało.

Poprawne.

JK

A to dzięki.