Matematyka.pl

Równanie \(\displaystyle{ x^{2}-5|x|+c=0}\) ma 4 różne pierwiastki. Oblicz \(\displaystyle{ c}\), jeżeli iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ 36}\).
No wiem, że ten iloczyn to \(\displaystyle{ \left(\frac {c}{a}\right)^{2}}\), ale jak do tego dojść? No i wiadomo, założenie jest, że po podstawieniu zmiennej pomocniczej będą \(\displaystyle{ 2}\) różne pierwiastki większe od zera.

Jeżeli liczba \(\displaystyle{ x_0}\) spełnia równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ |x|}\), to \(\displaystyle{ -x_0}\) też spełnia to samo równanie.
Czyli jak będzie równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=|x|}\) z dodatnim wyróżnikiem oraz dwoma dodatnimi pierwiastkami \(\displaystyle{ t_1, \ t_2}\), to wszystkie rozwiązania względem \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, t_2}\). Ich iloczyn jest więc równy…

No właśnie myślałam nad po prostu wzięciem i przemnożeniem tego wszystkiego. Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac {0}{16a^{2}}}\). To chyba nie to, a też robiłam, że \(\displaystyle{ x_{1}=-x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}=-x_{4}}\)

Nie rozumiem, wstawiasz do wzoru Viete'a na iloczyn jak pisałaś i wychodzi \(\displaystyle{ c=6}\), nie wiem skąd Ci się pojawia jakieś \(\displaystyle{ \frac{0}{16a^{2}}}\) (BTW nie ma potrzeby tak pisać, bo to po prostu \(\displaystyle{ 0}\)).

Weź mi to rozpisz, bo nie rozumiem, pls. Co ja mam wstawić do wzoru na iloczyn?
Chcesz mi powiedzieć, że ja mam wymnożyć to \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) przez \(\displaystyle{ c}\) przez \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x_{3}}\) i \(\displaystyle{ x_{4}}\)

Jej… Jeżeli liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ t_1, \ t_2}\) są rozwiązaniami równania kwadratowego (czyli \(\displaystyle{ a\neq 0}\))
\(\displaystyle{ at^2+bt+c=0}\), to rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) są \(\displaystyle{ -t_1, \ t_1, \ -t_2, \ t_2}\), chyba widać, dlaczego. Ze wzorów Viete'a dla wielomianu drugiego stopnia wynika, że \(\displaystyle{ t_1 t_2=\frac{c}{a}}\), więc iloczyn rozwiązań równania
\(\displaystyle{ a|x|^2+b|x|+c=0}\) jest równy \(\displaystyle{ t_1\cdot t_2 \cdot (-t_1)\cdot (-t_2)=(t_1 t_2)^2=\left(\frac{c}{a}\right)^{2}}\).

Może teraz jaśniej.

No to dokładnie to, co ja napisałam lol, tylko bez założeń, dziękuję Jeszcze planuję dodać drugie zadanie, ale nie od razu.

Napisałaś:

Niepokonana pisze: No wiem, że ten iloczyn to \(\displaystyle{ \left(\frac{c}{a}\right)^{2}}\), ale jak do tego dojść?

No to napisałem, jak do tego dojść. Z założeniami rozumiem, że sobie poradziłaś (jak pisałem wyróżnik dodatni – tu akurat taki jest, no i warunek z dodatnimi pierwiastkami też się przez wzory Viete'a wyraża i jest tu spełniony).

Na razie sobie poradziłam, ale kto wie, co będzie z następnym zadaniem, dziękuję.
I nie, chodzi mi o piąty post od góry.