Witam,
Mam takie polecenie:
"Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego:
\(\displaystyle{ y' = -2xy^{2}}\)
jest każda z poniższych funkcji:
a) \(\displaystyle{ y = 0}\)
b) \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}}}\)
c) \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}+1}}\)
d) \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}-1}}\)
Narysować odpowiednie krzywe całkowe."
O ile po rozwiązaniu równania różniczkowego wychodzi mi, że \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}}}\), a po podstawieniu, że \(\displaystyle{ 0}\) też jest rozwiązaniem to jednak nie wiem jak sprawdzić, że odpowiedzi c) i d) też są rozwiązaniami jako, że wychodzi np. w przypadku c), że \(\displaystyle{ \arctan x = \frac{-2x}{x^{2}+1} }\). Dodatkowo nie wiem jak narysować odpowiednie krzywe całkowe (wykres jakiej funkcji to będzie czy tej \(\displaystyle{ y' = -2xy^{2}}\) czy np. tej po rozwiązaniu czyli \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}}}\).
Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
- trzebasieuczyc
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
No to chyba zapomniałeś o stałej całkowania.trzebasieuczyc pisze: ↑13 wrz 2019, o 11:44O ile po rozwiązaniu równania różniczkowego wychodzi mi, że \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x^{2}}}\),
JK
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
Żeby wykazać, że coś jest rozwiązaniem równania całkowego, trzeba to coś wstawić (w Twoim przypadku) w miejsce \(\displaystyle{ y}\) i sprawdzić, czy równość zachodzi, czy nie. Nie trzeba go rozwiązywać.
- trzebasieuczyc
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
Re: Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
No dobrze, w takim razie podstawiam:
c)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} + 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \arctan x + C = \frac{-2x}{x^{4} + 2x^{2} +1}}}\)
d)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} - 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\frac{x-1}{x+1} + C = \frac{-2x}{x^{4} - 2x^{2} +1}}}\)
Czy to są tożsamości?
c)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} + 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \arctan x + C = \frac{-2x}{x^{4} + 2x^{2} +1}}}\)
d)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} - 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\frac{x-1}{x+1} + C = \frac{-2x}{x^{4} - 2x^{2} +1}}}\)
Czy to są tożsamości?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
Obawiam się, że mylisz różniczkowanie z całkowaniem.trzebasieuczyc pisze: ↑13 wrz 2019, o 14:04c)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} + 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \arctan x + C = \frac{-2x}{x^{4} + 2x^{2} +1}}}\)
Obawiam się, że mylisz różniczkowanie z całkowaniem.trzebasieuczyc pisze: ↑13 wrz 2019, o 14:04d)
\(\displaystyle{ \displaystyle{y = \frac{1}{x^{2} - 1}\\
y' = -2xy^{2}}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \frac{1}{2}\ln\frac{x-1}{x+1} + C = \frac{-2x}{x^{4} - 2x^{2} +1}}}\)
JK
- trzebasieuczyc
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 wrz 2019, o 21:25
- Płeć: Mężczyzna
Re: Wykazać, że rozwiązaniem równania różniczkowego jest + krzywe całkowe
Faktycznie, nie wiem co mi przyszło do głowy, że trzeba podstawiać pod lewą stronę i całkować. Masakra.
Dziękuję za cenną wskazówkę i pozdrawiam
Dziękuję za cenną wskazówkę i pozdrawiam