Zadanie/ wielomiany/ potega 2005, jak to ugrysc?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
damianate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 paź 2007, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Damianowo
Podziękował: 9 razy

Zadanie/ wielomiany/ potega 2005, jak to ugrysc?

Post autor: damianate » 10 paź 2007, o 20:59

wyznacz reszte z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = (x^2-3x+1)^{2005}}\) przez \(\displaystyle{ p(x)=x^2-4x+3}\)

Prosilbym o rozwiazanie, nie mam pojecia jak sie za to zabrac:/

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 10 paź 2007, o 21:03 przez damianate, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadanie/ wielomiany/ potega 2005, jak to ugrysc?

Post autor: Sylwek » 10 paź 2007, o 21:16

Wiemy, że stopień reszty jest mniejszy od stopnia P(x), więc R(x) jest maksymalnie wielomianem stopnia pierwszego i zapiszemy R(x)=ax+b. Wiemy, że:
\(\displaystyle{ W(x)=P(x) Q(x) + R(x)=P(x) Q(x)+ax+b}\)

Ale:
\(\displaystyle{ P(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3) \\ P(1)=0 P(3)=0}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases}W(1)=P(1) Q(1) + a+b=a+b \\ W(3)=P(3) Q(3)+3a+b=3a+b \end{cases} \\ W(1)=(1-3+1)^{2005}=-1 \\ W(3)=(9-9+1)^{2005}=1 \\ \begin{cases}a+b=-1 \\ 3a+b=1 \end{cases} \\ \begin{cases}a=1 \\ b=-2 \end{cases}}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ R(x)=x-2}\)

damianate
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 paź 2007, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Damianowo
Podziękował: 9 razy

Zadanie/ wielomiany/ potega 2005, jak to ugrysc?

Post autor: damianate » 10 paź 2007, o 21:26

Dzieki wielkie:) Nawet skumalem

Pozdrawiam i dziekuje

ODPOWIEDZ