Matematyka.pl

Dane są równania
\(\displaystyle{ x^{2}-px+q=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}-px-q}\),
gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami naturalnymi. Wykaż, że jeżeli obydwa mają pierwiastki całkowite, to istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b}\) takie że \(\displaystyle{ p^{2}=a^{2}+b^{2}}\). Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa?

Mam problem z rozważaniem czy implikacja jest prawdziwa. Jakieś wskazówki ?
(Zadanie pochodzi z zeszłorocznej edycji konkursu o Diamentowy indeks AGH.)

Po prostu odpowiednie wyróżniki, czyli \(\displaystyle{ p^2-4q}\) oraz \(\displaystyle{ p^2+4q}\) muszą być kwadratami liczb całkowitych, a skoro masz w implikacji w drugą stronę informację jedynie na temat \(\displaystyle{ p}\), to możesz zapisać \(\displaystyle{ p=5 \ (5^2=3^2+4^2)}\) i dobrać do tego takie duże \(\displaystyle{ q}\), ze wyróżnik trójmianu \(\displaystyle{ x^2-px+q}\) będzie ujemny, czyli nie będzie żadnych pierwiastków rzeczywistych, w szczególności żadnych całkowitych. Czyli implikacja w drugą stronę jest fałszywa.