Całka oznaczona -> z ln

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
tomashm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 19:24
Płeć: Mężczyzna

Całka oznaczona -> z ln

Post autor: tomashm » 3 wrz 2019, o 19:38

Hej

Jak w temacie - całki liczyłem 20 lat temu.
W ramach doraźnej pomocy koleżance z pracy przyjąłem wyzwanie.
I jak zwykle poległem:

Granice całkowania od 1 do e.
No i liczę z mozołem...

\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_1^e\frac{ 1}{x\cdot\sqrt{1-\ln^2 x}} =}}\)

tu ją sobie rozdzielam na \(\displaystyle{ \frac{ 1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\ln^2 x}}}\) ... jak do tej pory idzie nieźle...
\(\displaystyle{ \ln x = u}\) ( tu już mam obawy, czy powinienem był zmienić granice całkowania z \(\displaystyle{ 1}\) (czyli \(\displaystyle{ e^0}\)) na \(\displaystyle{ 0}\) i z \(\displaystyle{ e}\) (czyli \(\displaystyle{ e^1}\)) na \(\displaystyle{ 1}\)?

Po podstawieniu i radosnej zmianie granic całkowania wychodzi mi \(\displaystyle{ = \arcsin(\ln 1) - \arcsin(\ln 0)}\).

Mam pewne obawy, że gdzieś popełniłem błąd.
Sorry za łopatologiczny zapis.
Pomocy.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2019, o 02:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14153
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Całka oznaczona -> z ln

Post autor: Premislav » 3 wrz 2019, o 19:58

Cześć. Pomysł na podstawienie miałeś dobry, ale chyba dalej Ci się trochę pomieszało. Jak najbardziej należy zmienić granice całkowania.
\(\displaystyle{ \displaystyle{\int_{1}^{e}\frac{\mbox{d} x}{x\sqrt{1-\ln^2 x}}=\left|\begin{array}{cc}t=\ln x\\\mbox{d}t=\frac{\mbox{d}x}{x}\end{array}\right|=\int_{0}^{1}\frac{\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin 1-\arcsin 0=\frac{\pi}{2}}}\)

PS Ech, czy tu zostanę, czy nie, będę tęsknić za walorami estetycznymi starego forum, taki znak całki to makabra…
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2019, o 02:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \displaystyle.

tomashm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 19:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Całka oznaczona -> z ln

Post autor: tomashm » 3 wrz 2019, o 20:04

Dziękuję kolego.
Zapomniałem, że po zmianie granic całkowania moją "główną zmienną" zostaje ta z podstawienia.

Wiszę Tobie piwo.

ODPOWIEDZ