funkcje asymptotycznie równe

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mordar1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 cze 2010, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

funkcje asymptotycznie równe

Post autor: mordar1 » 23 sie 2019, o 11:18

Cześć. Staram się uzasadnić/udowodnić lemat związany z funkcjami asymptotycznie równymi. Czy macie jakiś pomysł z czego mogę skorzystać?

Niech \(\displaystyle{ h_{i}: \RR^{2} \to \RR}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2}\) będą takie że \(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{h_{1}(x,y)}{h_{2}(x,y)}=1}\) dla każdego \(\displaystyle{ y \in \RR}\). Zakładamy istnienie całki \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} h_{i}(x,y) dy}\).

Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{\int_{-\infty}^{\infty} h_{1}(x,y) dy}{\int_{-\infty}^{\infty} h_{2}(x,y) dy} =1.}\)

Domyślam się, że trzeba skorzystać z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej, ale jak to uzasadnić?
Ostatnio zmieniony 23 sie 2019, o 11:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: funkcje asymptotycznie równe

Post autor: Dasio11 » 23 sie 2019, o 17:26

Stosując podstawienie \(\displaystyle{ x' = \frac{1}{|x-a|}}\) możemy założyć, że \(\displaystyle{ a = \infty}\). Rozważmy funkcje

\(\displaystyle{ h_2(x, y) = e^{-(y-x)^2} \\[1ex] h_1(x, y) = \left( 1+e^{-(y-x)^2} \right) \cdot h_2(x, y).}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \bullet}\) dla każdego \(\displaystyle{ y \in \RR}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{h_1(x, y)}{h_2(x, y)} = \lim_{x \to \infty} \big( 1+e^{-(y-x)^2} \big) = 1,}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy

\(\displaystyle{ \int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(x, y) \, \dd y = \int \limits_{-\infty}^{\infty} \big( 1+e^{-y^2} \big) \cdot e^{-y^2} \, \dd y > \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, \dd y = \int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \dd y}\),

co wynika z podstawienia \(\displaystyle{ y' = y-x}\), a zatem

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(x, y) \, \dd y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \dd y} = \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} \big( 1+e^{-y^2} \big) \cdot e^{-y^2} \, \dd y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, \dd y} > 1.}\)

Twoja teza jest więc fałszywa.

mordar1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 6 cze 2010, o 17:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

funkcje asymptotycznie równe

Post autor: mordar1 » 23 sie 2019, o 20:03

Świetny kontrprzykład, dzięki za podanie.
Jednak czy widzisz szanse udowodnienia tego przy jakiś dodatkowych założeniach na temat funkcji \(\displaystyle{ h_{1}}\) i \(\displaystyle{ h_{2}}\)??

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: funkcje asymptotycznie równe

Post autor: Dasio11 » 3 wrz 2019, o 23:47

Łatwo udowodnić żądaną tezę przy dość mocnym założeniu, że zbieżność

\(\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x \to a} \frac{h_1(x, y)}{h_2(x, y)} = 1}}\)

jest jednostajna względem \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\).

Jednak w tym przypadku pytanie o to, jak osłabić założenia żeby fakt stał się prawdziwy, jest mało perspektywiczne, bo teza może się zepsuć z przeróżniastych powodów. Żeby trochę uprościć sytuację, załóżmy że istnieje takie \(\displaystyle{ \delta > 0}\), że dla \(\displaystyle{ 0 < |x-a| < \delta}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\) jest \(\displaystyle{ h_2(x, y) \neq 0}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ x, y}\) jak powyżej (czyli wszystkich które nas interesują) można zapisać

\(\displaystyle{ h_1(x, y) = h_2(x, y) \big( 1 + \varepsilon(x, y) \big).}\)

Wówczas założenie

\(\displaystyle{ \displaystyle{(\forall y \in \mathbb{R}) \, \lim_{x \to a} \frac{h_1(x, y)}{h_2(x, y)} = 1}}\)

przekształca się równoważnie w

\(\displaystyle{ \displaystyle{(\forall y \in \mathbb{R}) \, \lim_{x \to a} \varepsilon(x, y) = 0,}}\)

przekształcając zaś następująco:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(x, y) \, \mbox{d} y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y} & = \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \big( 1 + \varepsilon(x, y) \big) \, \mbox{d} y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y} = \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y + \int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \varepsilon(x, y) \, \mbox{d} y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y} \\
& = 1 + \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \varepsilon(x, y) \, \mbox{d} y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y},
\end{align*}}\)


tezę możemy równoważnie przedstawić jako

\(\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x \to a} \cfrac{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \varepsilon(x, y) \, \mbox{d} y}{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y} = 0.}}\)

Tak jak wyżej - jeśli \(\displaystyle{ \varepsilon(x, y)}\) dąży do zera przy \(\displaystyle{ x \to a}\) jednostajnie względem \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\), to teza zachodzi. Ale jeśli nie, to są przynajmniej dwa powody, dla których całka ważona w liczniku może nie być mała względem całki nieważonej w mianowniku:

- waga (czyli funkcja \(\displaystyle{ \varepsilon(x, y)}\)) może być bardzo duża na wprawdzie coraz mniejszym zbiorze przy \(\displaystyle{ x \to a}\), ale jednak tak duża, żeby w sumie wpływ na wartość licznika był niepomijalny;
- waga może być ograniczona, ale niebliska zeru akurat na (zmniejszającym się) zbiorze, gdzie naliczana jest główna część wartości całki \(\displaystyle{ \displaystyle{\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_2(x, y) \, \mbox{d} y}}\), co sprawia, że iloraz nie dąży do zera.

(Mój kontrprzykład z poprzedniego postu opiera się na drugim z tych dwóch przypadków).

Jeśli pominąć wprowadzone na początku uproszczenie (pozwalające zdefiniować \(\displaystyle{ \varepsilon(x, y)}\)), to możliwości zepsucia tezy robi się jeszcze więcej. Dlatego lepiej gdybyś napisał, do czego omawiany fakt jest Ci potrzebny.

ODPOWIEDZ