Matematyka.pl

Dla jakich liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ich iloczyn \(\displaystyle{ xy}\) przyjmuje wartość największą, jeżeli równanie to \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\)
No i ja nie wiem, co ja źle robię, bo mi wychodzi \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) a ma być \(\displaystyle{ x=1,5}\) i \(\displaystyle{ y=1}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{6-2x}{3} \\
xy= \frac{x(6-2x)}{3}=2x- \frac{2}{3}x^{2} \\
x_{w}=p= -\frac{b}{2a}= \frac{-4}{- \frac{4}{3} } =3}\)
i po podstawieniu do wzoru \(\displaystyle{ y=0}\).

Eee no w sumie racja, a poza tym jest dobrze?

Jeśli chodzi o obliczenie wartości największej, to tak.

Inaczej:
\(\displaystyle{ 24xy\le (2x+3y)^2=36}\), ponieważ \(\displaystyle{ 4ab\le (a+b)^2 \Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0}\) z równością dla \(\displaystyle{ a=b}\) (tu bierzemy \(\displaystyle{ a:=2x, \ b:=3y}\)), więc \(\displaystyle{ xy\le \frac 3 2}\) z równością dla \(\displaystyle{ x=\frac 3 2, \ y=1}\).

A skąd wziąłeś \(\displaystyle{ 24xy}\)? bo to \(\displaystyle{ (2x+3y)^{2}}\) to domyślam się, że podniesienie stron do kwadratu, ale skąd te \(\displaystyle{ 4ab}\) i inne rzeczy to ja nie wiem.

Wiadomo, że \(\displaystyle{ (2x-3y)^2\geq 0}\). Równoważnie \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2 \geq 12 xy}\). A jeszcze równoważnie \(\displaystyle{ 4x^2+12xy+9y^2 \geq 24 xy}\), czyli \(\displaystyle{ (2x+3y)^2 \geq 24xy}\).

Ale po co robić to na \(\displaystyle{ 24xy}\) jak można zrobić normalnie?

Dla rozrywki. Matematyka to rozrywkowa gra.

Matematyka to nie gra, matematyka to zło i dlatego ją lubię.
Chcesz mi powiedzieć, że zrobiłeś dziwne przekształcenia, żeby było ciekawiej?
EDIT: jak żeby było ciekawiej to rozumiem. Ale jeżeli to wynika z jakichś zasad to nie rozumiem. Tak to już jest.

Można jeszcze dla rozrywki zrobić z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną. Wprawdzie zachodzi ona dla liczb nieujemnych, ale można łatwo uzasadnić, że maksimum osiągane jest dla nieujemnych argumentów

A jakby to wyglądało?
Muszę częściej przychodzić tu z drobnymi błędami rachunkowymi. XD

Niepokonana pisze:Chcesz mi powiedzieć, że zrobiłeś dziwne przekształcenia, żeby było ciekawiej?

Rozwiązanie Premislava jest po prostu ładniejsze, a nie takie "pałkarskie" jak Twoje . Oczywiście kwestie estetyczne nie mają wpływu na poprawność.

JK

Niepokonana pisze:A jakby to wyglądało?

Zauważmy, że maksimum będziemy szukać w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{\left(x,y\right): x,y\geq 0 \wedge 2x+3y=6\right\}}\). Skoro \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) to oczywiste, że obydwie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) nie mogą być ujemne. Maksimum nie będzie także osiągane dla takich par \(\displaystyle{ x,y}\), gdzie dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) jest ujemna (taki iloczyn byłby wtedy ujemny, a łatwo podać przykład takiej pary, dla której wyjdzie nieujemny, zatem żadnej wartości największej tu nie ma).

Całe to rozważanie przypadków było dlatego, że nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną zachodzi dla liczb nieujemnych. Teraz na mocy tej nierówności otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{2x+3y}{2}\geq \sqrt{6xy}}\), co podstawiając \(\displaystyle{ 2x+3y=6}\) oraz podnosząc obustronnie do kwadratu, przekształcimy równoważnie do postaci \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\geq xy}\). Równość w nierówności między średnimi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy równe są argumenty, a więc gdy \(\displaystyle{ 2x=3y}\). Zatem \(\displaystyle{ 2x+3y=2x+2x=6}\), skąd \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}}\). Teraz łatwo obliczamy, że \(\displaystyle{ y=1}\).