Matematyka.pl

Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ a\ge b\ge c}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ a^2|(b^3+c^3)}\), w szczególności jest \(\displaystyle{ a^2\le b^3+c^3}\).
Rozważymy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Powiedzmy, że \(\displaystyle{ a^2=b^3+c^3}\).
Wówczas równanie \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = n \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}\)
sprowadza się do:
\(\displaystyle{ a^3+a^2=n(abc)^2\\a+1=n(bc)^2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ b,c\ge 2}\), to
\(\displaystyle{ a<\sqrt{b^3+c^3}<\sqrt{b^3c^3}=(bc)^{\frac 3 2}\\a+1<\left( bc\right)^{\frac 3 2}+1}\)
i \(\displaystyle{ n(bc)^2\ge(bc)^2=(bc)^{\frac 1 2}(bc)^{\frac 3 2}\ge 2(bc)^{\frac 3 2}>1+(bc)^{\frac 3 2}}\)
toteż równość nie zachodzi.
Niech więc teraz będzie \(\displaystyle{ c=1}\). Równanie
\(\displaystyle{ a+1=n(bc)^2}\) przyjmuje postać
\(\displaystyle{ a+1=nb^2}\), przy czym
\(\displaystyle{ a=\sqrt{b^3+1}}\).
Mamy więc do rozważenia równanie
\(\displaystyle{ b^3+1=(nb^2-1)^2}\), ale jeśli \(\displaystyle{ n\ge 2, \ b\ge 2}\), to
\(\displaystyle{ (nb^2-1)^2\ge b^4>b^3+1}\), jeżeli natomiast
\(\displaystyle{ n\ge 2, \ b=1}\), to mamy równanie \(\displaystyle{ (n-1)^2=2}\), ale \(\displaystyle{ 2}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, pozostaje więc przypadek \(\displaystyle{ n=1}\), w którym to równanie sprowadza się do
\(\displaystyle{ b^3+1=(b^2-1)^2}\). Łatwo widać, że \(\displaystyle{ b=2}\) spełnia to równanie,
a wówczas \(\displaystyle{ c=1, \ a=\sqrt{b^3+1}=3}\), czyli dla \(\displaystyle{ n=1}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ (a,b,c)=(3,2,1)}\) jest rozwiązaniem, dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) rozwiązań (w tym przypadku) nie ma.


\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Niech \(\displaystyle{ a^2<b^3+c^3}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a^2|(b^3+c^3)}\), więc wobec tego mamy \(\displaystyle{ a^2\le \frac{b^3+c^3}{2}}\).
Przepiszmy równanie
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = n \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}\)
w równoważnej postaci
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc)^2}+ \frac{b}{(ca)^2} + \frac{c}{(ab)^2}=n}\)
Teraz odnotujmy, że
\(\displaystyle{ \frac{b}{(ca)^2}\le 1, \frac{c}{(ab)^2}\le 1\\ \frac{a}{(bc)^2}=\frac{a^2}{a(bc)^2}\le \frac{b^3+c^3}{2ab^2c^2}\le \frac{2b^3}{2b^3c^2}\le 1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc)^2}+ \frac{b}{(ca)^2} + \frac{c}{(ab)^2}\le 3}\)
i w związku z tym w rozważanym przypadku musi być
\(\displaystyle{ n\le 3}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) łatwo widać, że \(\displaystyle{ a=b=c=1}\) spełniają warunki zadania.
Wskazaliśmy już pewne rozwiązanie dla \(\displaystyle{ n=1}\), więc nie musimy rozpatrywać tego przypadku. Pozostaje \(\displaystyle{ n=2}\).
Jeśli \(\displaystyle{ c\ge 2}\) (a co za tym idzie \(\displaystyle{ b\ge 2}\)), to mamy
\(\displaystyle{ \frac{b}{(ca)^2}\le \frac 1 2, \frac{c}{(ab)^2}\le \frac 1 2\\\frac{a}{(bc)^2}=\frac{a^2}{a(bc)^2}\le \frac{b^3+c^3}{2ab^2c^2}\le \frac{2b^3}{2b^3c^2}<1}\)
i dodając stronami mamy
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc)^2}+ \frac{b}{(ca)^2} + \frac{c}{(ab)^2}<2}\).
Niechaj więc \(\displaystyle{ c=1}\), a wtedy równanie
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 2 \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}\)
przyjmuje postać
\(\displaystyle{ a^3+b^3+1=2a^2b^2}\), przy czym
\(\displaystyle{ a^2\le \frac{b^3+1}{2}}\), a zatem
\(\displaystyle{ a^3\le \frac{ab^3+a}{2}\\a^3+b^3+1\le \frac{ab^3+a}{2}+b^3+1}\).
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b>1}\). Wówczas
\(\displaystyle{ a^2b^2\ge b^4>b^3+1\\ \frac{a^2b^2}{2}\ge \frac{ab^3}{2}\\\frac{a^2b^2}{2}>\frac a 2}\), czyli
\(\displaystyle{ a^3+b^3+1\le \frac{ab^3+a}{2}+b^3+1<2a^2b^2}\).
Niech wreszcie \(\displaystyle{ b=1}\), wówczas równanie
\(\displaystyle{ a^3+b^3+1=2a^2b^2}\)
przyjmuje formę
\(\displaystyle{ a^3-2a^2+2=0}\)
co nie ma rozwiązań w całkowitych dodatnich, ponieważ z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych wynika, że w ogóle nie ma to rozwiązań w wymiernych.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ n\in\left\{ 1,3\right\}}\).