żS-3, od: luka52, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: Liga » 10 paź 2007, o 20:01

luka52 pisze:Na początku chciałbym zauważyć, iż w treści zadania powinno być \(\displaystyle{ n \mathbb{N}_+}\), gdyż jak nie trudno sprawdzić, dla n=0 uzyskujemy sprzeczność.

Spr. dla \(\displaystyle{ n_0 = 1}\):
\(\displaystyle{ m_1 = 3^{2 + 1} + 40 - 67 = 67 - 67 = 0 0|64 T(n_0 = 1)}\)
Zał.
\(\displaystyle{ T(k): \ 3^{2k+1} + 40k - 67 = 64s, s \mathbb{C}}\)
Teza
\(\displaystyle{ T(k+1): \ 3^{2(k+1) + 1} + 40 (k+1) - 67 = 64p, p \mathbb{C}}\)
Dowód
\(\displaystyle{ L_T = 3^{2(k+1) + 1} + 40 (k+1) - 67 = 3^{2k + 3} + 40k - 27 = \\
= 9 (3^{2k + 1} + 40k - 67) - 360k + 9 67 + 40k - 27 = \\
= 9 64s - 320 k + 576 = 9 64s - 5 64k + 9 64 = \\
= 64 ( 9s - 5k + 9 ) = 64p = P_T}\)

W ten sposób podzielność liczby \(\displaystyle{ m_n}\) przez 64 została udowodniona na podstawie indukcji matematycznej.

Gdy n jest nieparzyste, tj. \(\displaystyle{ n = (2k+1), \ \ k \mathbb{N}}\) to:
\(\displaystyle{ m_n = 3^{4k + 3} + 80k + 40 - 67 = 27 3^{4k} + 80k - 27}\)

Podzielność liczby 80k przez 5 jest oczywista, znajdujemy następnie, że
\(\displaystyle{ 3^4 \equiv 1 od 5\\
3^{4k} \equiv 1 od 5\\
27 3^{4k} \equiv 27 od 5\\
27 3^{4k} - 27 \equiv 0 od 5}\)

stąd liczba \(\displaystyle{ 27 3^{4k} + 80k - 27}\) jest przez 5 podzielna.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:15 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6498
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 paź 2007, o 20:26

daje maxa, chco z tym .. n=0 to chyba przesada ?!

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: bolo » 10 paź 2007, o 23:14

luka52 zasygnalizował mi, że zadanie dla \(\displaystyle{ n=0}\) średnio ma sens, w ostatnim momencie dla uniknięcia kontrowersji zmieniłem na naturalne dodatnie.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: scyth » 10 paź 2007, o 23:21

-64 jest podzielne przez 64, więc chyba się zagalopował...

za zadanie 5/5?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6498
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 paź 2007, o 23:57

5 pkt

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-3, od: luka52, zadanie 2

Post autor: Tristan » 13 paź 2007, o 13:50

5/5.

ODPOWIEDZ