Matematyka.pl

Cześć,

Mam takie zadanie - zbadaj zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego dla \(\displaystyle{ x \in (0; +\infty)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}
\frac{1}{n(1+(n-x)^2)}}\).

Oznaczmy : \(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{1}{n(1+(x-n)^2)}}\). Widzimy że \(\displaystyle{ f_{n} < \frac{1}{n^2} = a_{n}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Więc ddd \(\displaystyle{ n}\), mamy \(\displaystyle{ \left| f_{n}\right| < a_{n}}\).

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}\) jest zbieżny więc na mocy kryt. Weiersstrassa \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}
\frac{1}{n(1+(n-x)^2)}}\) jest zbieżny jednostajnie( i również bezwzględnie).

Czy to jest ok? Czy wielki kit?

Kit: nierówność \(\displaystyle{ f_n<\frac{1}{n^2}}\) nie zachodzi, gdy, dajmy na to,
\(\displaystyle{ x\in \left[ n-\frac{\sqrt{n}}{2},n+\frac{\sqrt{n}}{2}\right]}\).

To zadanie ładnie rozwiązał Dasio11 w tym wątku (a ja brzydko):
434081.htm