Matematyka.pl

Czy \(\displaystyle{ \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}}\) dla każdego rzeczywistego argumentu? Bo wolfram wyrzuca wartość ujemną dla ujemnych argumentów, a inne źródła wskazują że zawsze jest wynik \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).

Po prostu wolfram inaczej niż standardowo definiuje arkus kotangens (nie pamiętam jak), zwyczajnie bierze inną gałąź kotangensa. A pies mu mordę lizał, powinno to być napisane w dokumentacji. Wpisz w wyszukiwarce wolfram documentation czy coś.

Jeżeli chcemy, by wzór \(\displaystyle{ \arcctg(\ctg x)=x}\) zachodził dokładnie dla \(\displaystyle{ x\in\left( 0, \pi \right)}\) i tak definiujemy arkus kotangens, to równość
\(\displaystyle{ \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}}\)
zajdzie dla dowolnych argumentów rzeczywistych. By się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=1}\), dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ f(x)=\arctg x+\arcctg x}\) ma pochodną równą zero w tej dziedzinie (która jest przedziałem).

Po prostu wolfram inaczej niż standardowo definiuje arkus kotangens (nie pamiętam jak), zwyczajnie bierze inną gałąź kotangensa.

Wolfram bierze nawet połowę gałęzi \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) przez zerem i połowę za zerem. Odwraca funkcję \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) określoną na \(\displaystyle{ \left(- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) \setminus \left\{ 0\right\}}\) co widać np gdzie podejście "standardowe" to odwracania \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) określonego na \(\displaystyle{ \left( 0, \pi \right)}\). Taka definicja przypomina mi definicję kotangensa za pomocą \(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1}{x} \right)}\). Co ciekawe Wolfram nie ma problemu z \(\displaystyle{ x=0}\) dają wynik \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) jak to jest w "standardowej" definicji (pewnie ma tą wartość wpisaną na sztywno).

PS To chyba też rozwiązuje zagadkę dlaczego Wolfram ma problem z prostymi granicami z \(\displaystyle{ \text{arcctg}}\) bo podejście Wolframowskie rodzi problem z zerem w \(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1}{x} \right)}\). Nie do końca nawet granica pomaga (bo nie istnieje). Tego problemu nie ma w "standardowym" podejść bo funkcja odwrotna jest określona już na całym \(\displaystyle{ \RR}\) i nie trzeba kombinować.