Matematyka.pl

Chciałem obliczyć sumę szeregu podanego poniżej, lecz nie wiem jak dokończyć obliczenia:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1} {\cosh(n)}=2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1} {e^{n}+e^{-n}}\quad \int_{1}^{\infty}\frac{1} {\cosh(n)}dn= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{1} {\cosh(n)}dn=}\) \(\displaystyle{ =2\sum_{n=1}^{\infty}\big(\arctan(e^{-n})-\arctan(e^{-n-1})\big)=2\arctan(e^{-1})}\)
No i dalej nie wiem co zrobić. Czy ktoś mógłby dać jakąś wskazówkę jak policzyć sumę tego szeregu? Najbardziej chciałbym obliczeć tę sumę za pomocą całek, ale nic mi nie przychodzi do głowy. Z góry dziękuję za pomoc!
Podejrzewam, że można obliczyć to za pomocą analizy zespolonej:\(\displaystyle{ \cos(it)=\cosh(t)\because \cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}} {2}}\) podstawiając \(\displaystyle{ \theta=it}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ \cos(it)=\frac{e^{t}+e^{-t}} {2}=\cosh(t) \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1} {\cosh(n)}= \sum_{t=1}^{\infty}\frac{1} {\cos(it)}}\)

Nie wszystkie szeregi daje się wysumować i jawnie przedstawić ich sumę. Skąd przekonanie, że ten się da?

Rzeczywiście, nie każdy szereg sumuje się do konkretnych wartości. Przepraszam za moją nieprecyzyjność wypowiedzi, która może mówić, że dana suma ma jawną postać, czego nie twierdzę. Bardzo dziękuję za uwagę Janusz Tracz!

Chodzi mi jedynie o to, że większość szeregów nie ma ładnych sum i jeśli matematycy nie radzą sobie z ich policzeniem poprzez wyrażanie ich sumy jaką dostają poprzez jakąś kombinację innych matematycznych stałych to szeregowi można przyporządkować literkę, nazwać ją matematyczną stałą i mówić od dziś, że ta literka to właśnie suma tego szeregu. Tak jak literką \(\displaystyle{ L}\) umówiliśmy się nazywać na przykład. Nie twierdzę tym samym, że Twój szereg musi spełniać to o czym mówię choć wydaje mi się, że policzenie tego jest mało prawdopodobne (jak już to skończy się to na bardzo wymyślnych zmodyfikowanych funkcjach specjalnych pokroju q-Polygamma). Wszak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\text{ch}(n)+1}=2\left( 1-\psi^{(1)}_e\left( -i\pi\right) \right)= 2\left( 1- \frac{ \partial }{ \partial z}\left( \frac{1}{\Gamma_e(z)} \frac{ \partial \Gamma_e(z)}{ \partial z} \right) \right)}\)

Przy czym \(\displaystyle{ \Gamma_q(z)}\) to zmodyfikowana funkcja q-Gamma definiowana symbolem q-Pochhammera. A Twój szereg wykazuje znaczne podobieństwo.