Matematyka.pl

Jak najszybciej rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin 2x + \cos 2x = 1}\) ?

Chyba jakiś problem techniczny z LaTeX-em ma miejsce, więc opiszę po prostu, co zrobić: zastosuj wzór redukcyjny wiążący cosinus z sinusem, a następnie wzór na sumę sinusów.-- 16 lip 2019, o 17:03 --Jeśli ten wzór nie jest redukcyjny, to się nie czepiajcie (chyba że bardzo chcecie, to zacznę znów wytykać wszystkie błędy językowe w postach). Chodzi o wzór \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left( \frac \pi 2-\alpha\right)}\)

Albo pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) i zastosuj wzór \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y}\).

P.S. Jak widać LaTeX działa, tylko trzeba umieć.

Podnieś równanie stronami do kwadratu.

Dilectus pisze:Podnieś równanie stronami do kwadratu.

A potem baw się z obcymi pierwiastkami

a4karo, to prawda, trzeba się trochę pobawić, bo gdyby po prawej stronie równania była liczba \(\displaystyle{ -1}\), to po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymalibyśmy to samo, tzn.

\(\displaystyle{ \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = 1^2 =1 \quad \text{i} \quad \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = (-1)^2=1}\)

Dilectus pisze:\(\displaystyle{ \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = 1^2 =1 \quad \text{i} \quad \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = (-1)^2=1}\)

Intrygujący zapis równania.

Dilectus pisze:a4karo, to prawda, trzeba się trochę pobawić, bo gdyby po prawej stronie równania była liczba \(\displaystyle{ -1}\), to po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymalibyśmy to samo,

Więc uzyskane rozwiązania wystarczy podzielić przez dwa!

A serio, to wystarczy zrobić odpowiednie założenie.


Inaczej:
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x+\cos^2x-\sin^2x=\sin^2x+\cos^2x \\
2\sin x\left( cos x - \sin x\right)=0\\
\sin x=0 \ \ \ \vee \ \ \ \sin x=\cos x}\)

Dilectus pisze:
A serio, to wystarczy zrobić odpowiednie założenie.

Można też zrobić metodą starożytnych (uwielbiam tę nazwę ), tj. rozwiązać, nie przejmując się założeniami, i sprawdzić, które rozwiązania spełniają wyjściowe równanie.