Model GPS
: 14 lip 2019, o 16:27
W książce Grawitacja Jamesa B. Hartle'a (str. 77) opisano model GPS:
Z moich obliczeń wynika jednak, że w układzie spoczynkowym podróżnika, w momencie odbierania przez niego obu sygnałów znajduje się on w równej odległości od obu satelitów. Podejrzewam, że autor miał na myśli, iż podróżnik nie znajduje się dokładnie pomiędzy wskazaniami przestrzennymi odebranych sygnałów. Czy faktycznie jest to nieścisłość ze strony autora, czy czegoś głębiej nie rozumiem?Dla uproszczenia ograniczamy się do dwóch wymiarów przestrzennych: poziomego (\(\displaystyle{ x}\)) i pionowego (\(\displaystyle{ y}\)). Podróżnik zabłądził podczas wędrówki po powierzchni Ziemi, dla której \(\displaystyle{ y = 0}\). Nad jego głową, na wysokości \(\displaystyle{ h}\) przelatuje grupa satelitów, lecących z prędkością \(\displaystyle{ V}\). Odległość między satelitami, mierzona w ich układzie spoczynkowym, wynosi \(\displaystyle{ L_*}\). Satelity są wyposażone w zegary, które zostały zsynchronizowane, tak aby pokazywały ten sam czas w ich układzie spoczynkowym. Satelity w regularnych odstępach czasu emitują sygnały z informacją o wskazaniach swoich zegarów i położeniu poziomym (\(\displaystyle{ x}\)).
Podróżnik równocześnie odbiera sygnały od dwóch najbliższych satelitów, jednego z prawej, drugiego z lewej. Sygnały zawierają informację, że zostały wysłane równocześnie. Czy to oznacza, że podróżnik znajduje się w środku między dwoma zegarami? Nie, bo żeby tak było, sygnały musiałyby zostać wysłane równocześnie w jego układzie spoczynkowym. Z uwagi na względność równoczesności, w układzie podróżnika sygnał z zegara po jego prawej stronie został wysłany o \(\displaystyle{ \Delta t = \gamma \frac{V}{c^2} L_*}\) później niż z zegara po lewej stronie. Podróżnik znajduje się zatem bliżej zegara po prawej stronie [...]