Matematyka.pl

Dane są liczby nieujemne \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ u_{n+3} = \frac{u_n + u_{n+1}+ u_{n+2}}{3}}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } u_n = \frac{u_1+ 2u_2+3u_3}{6}.}\)

Rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego
\(\displaystyle{ u_{n+3} = \frac{u_n + u_{n+1}+ u_{n+2}}{3}}\)
jest postaci \(\displaystyle{ u_n=C_1 x_1^n+C_2 x_2^n+C_3 x_3^n}\), gdzie
\(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\) to pewne stałe, zaś \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) są pierwiastkami wielomianu
\(\displaystyle{ P(x)=x^3-\frac 1 3 x^2-\frac 1 3 x-\frac 1 3=\left( x-1\right) \left( x^2 +\frac 2 3 x+\frac 1 3\right)\\=(x-1)\left(\left( x+\frac 1 3\right)^2+\frac 2 9 \right)}\),
tj. niech \(\displaystyle{ x_1=1}\).
Pierwiastki zespolone nierzeczywiste \(\displaystyle{ x_2, \ x_3}\) (które są wzajemnie sprzężone) mają moduł równy
\(\displaystyle{ \frac 1 9+\frac 2 9=\frac 1 3<1}\), stąd
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }C_2 x_2^n= \lim_{n \to \infty}C_3 x_3^n=0}\)
i w związku z tym
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}u_n=C_1}\).
Pozostaje więc wykazać, że
\(\displaystyle{ C_1=\frac{u_1+ 2u_2+3u_3}{6}}\)

Kładąc w zależności
\(\displaystyle{ u_n=C_1 +C_2 x_2^n+C_3 x_3^n}\)
kolejno \(\displaystyle{ n=1, \ n=2, \ n=3}\) mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases}C_1+C_2 x_2+C_3 x_3=u_1 \\ C_1+C_2 x_2^2+C_3x_3^2=u_2\\C_1+C_2x_2^3+C_3x_3^3=u_3 \end{cases}}\)
Teraz mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ \frac 1 6}\), drugie przez \(\displaystyle{ \frac 1 3}\) i trzecie przez \(\displaystyle{ \frac 1 2}\), dodajemy stronami tak przekształcone równania i mamy
\(\displaystyle{ C_1= \frac{u_1+2u_2+3u_3}{6}-\frac 1 2 C_2x_2\left(x_2^2+\frac 2 3x_2+\frac 1 3\right)-\frac 1 2 C_3x_3\left(x_3^2+\frac 2 3 x_3+\frac 1 3\right)\\=\frac{u_1+2u_2+3u_3}{6}}\)
co kończy dowód.