Matematyka.pl

Witam,
Czy mógłby mi ktoś pomóc z zadaniem o treści:
W reakcji następczej \(\displaystyle{ A \rightarrow B \rightarrow C}\) w chwili \(\displaystyle{ t = 0 s}\), stężenia reagentów wynoszą \(\displaystyle{ [A]=A_0}\), \(\displaystyle{ =0}\), \(\displaystyle{ [C]=0}\). Wiadomo, że stężenie reagenta \(\displaystyle{ B}\) osiąga maksimum po czasie \(\displaystyle{ 2}\) sekund. Po jakim czasie szybkość tworzenia produktu \(\displaystyle{ C}\) jest najwyższa:

Odrzuciłam odpowiedź \(\displaystyle{ 0s}\) i raczej odpowiedź \(\displaystyle{ 2s}\)
Wydaje mi się, że będzie to odpowiedź \(\displaystyle{ 1s}\) ale nie jestem pewna.

Rozwiązując równania kinetyczne reakcji następczej otrzymujemy zależność stężenia poszczególnych reagentów w funkcji czasu.

\(\displaystyle{ C_{B}\left( t\right) = \frac{ C_{A0} k_{1} }{ k_{2} - k_{1} } \left( e^{- k_{1}t} - e^{- k_{2}t } } \right)}\)

\(\displaystyle{ C_{C}\left( t\right) = C_{A0}- C_{A0}e^{- k_{1}t}-\frac{ C_{A0} k_{1} }{ k_{2} - k_{1} } \left( e^{- k_{1}t} - e^{- k_{2}t } } \right)}\)

Licząc pochodną \(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}C_{B}}{ \mbox{d}t }}\) i przyrównując ją do zera otrzymujemy, że maksymalne stężenie reagenta \(\displaystyle{ B}\) jest osiągane w czasie:

\(\displaystyle{ t= \frac{\ln{ \frac{ k_{2} }{ k_{1} } }}{ k_{2} - k_{1} }}\)

Dwukrotnie różniczkując równanie \(\displaystyle{ C_{C}\left( t\right)}\) po czasie i przyrównując je do zera otrzymujemy, że maksymalna szybkość tworzenia produktu \(\displaystyle{ C}\) jest osiąga w tym samym czasie co maksymalne stężenie reagenta \(\displaystyle{ B}\) (polecam sprawdzić ten fakt). Ma to swoje uzasadnienie, gdyż szybkość reakcji zależy od stężenia substratu. W związku z powyższym maksymalną szybkość tworzenia produktu \(\displaystyle{ C}\) w reakcji następczej osiągamy w czasie kiedy stężenie wyjściowego substratu \(\displaystyle{ B}\) osiąga wartość maksymalną.

Jejku, bardzo serdecznie dziękuję!