Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli funkcja falowa \(\displaystyle{ \psi(x)}\) jest rzeczywista, to wartość oczekiwana pędu \(\displaystyle{ \left\langle \hat{p} \right\rangle=0}\).

Z zagadnienia własnego \(\displaystyle{ \hat{p}|\psi_p\rangle=p|\psi_p\rangle}\)
\(\displaystyle{ \left\langle x|\hat{p}|\psi_p\right\rangle =p\left\langle x|\psi_p\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ -i\hbar \frac{ \mbox{d} \psi_p}{ \mbox{d}x }=p\psi_p(x)}\), czego unormowanym do delty Diraca rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ \psi_p(x)= \frac{1}{ \sqrt{2\pi \hbar} }e^{ ipx/ \hbar} }}\).
Gęstość prawdopodobieństwa pomiaru wartości \(\displaystyle{ p}\) jest równa \(\displaystyle{ P(p)=\left| \left\langle \psi_p|\psi\right\rangle \right|^2=\left\langle \psi|\psi_p\right\rangle \left\langle \psi_p|\psi\right\rangle}\).
\(\displaystyle{ \left\langle \psi_p|\psi\right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty}\left\langle \psi_p|x\right\rangle \left\langle x|\psi\right\rangle \mbox{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{p}^* (x)\psi(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \left\langle \psi|\psi_p\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\psi_p(x) \mbox{d}x}\) (ponieważ \(\displaystyle{ \psi^*(x)=\psi(x)}\))
Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ p'=-p}\), to
\(\displaystyle{ \left\langle \psi_{p'}|\psi\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{p'}^* (x)\psi(x) \mbox{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi \hbar} }e^{ -ip'x/ \hbar} }\psi(x) \mbox{d}x=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi \hbar} }e^{ ipx/ \hbar} }\psi(x) \mbox{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{p} (x)\psi(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \left\langle \psi|\psi_{p'}\right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{p}^* (x)\psi(x) \mbox{d}x}\)
Mamy więc \(\displaystyle{ \left\langle \psi_p|\psi\right\rangle \left\langle \psi|\psi_p\right\rangle=\left\langle \psi_{p'}|\psi\right\rangle \left\langle \psi|\psi_{p'}\right\rangle}\), więc \(\displaystyle{ P(p)=P(-p)}\), skąd teza.

Proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.

Mamy wykazać implikację

\(\displaystyle{ \psi(x) \in \mathcal{R}e(\psi) \rightarrow \left\langle \hat{p} \right\rangle=0}\)

A to wynika z tego, że rozkład prawdopodobieństwa jest symetryczny względem 0.

janusz47 pisze:\(\displaystyle{ \psi(x) \in \mathcal{R}e(\psi)}\)

Chyba \(\displaystyle{ \psi(x)=\mathcal{R}e(\psi)}\).
Na pierwszy rzut oka wygląda ok, pomijając niestandardową notację \(\displaystyle{ |\psi_p\rangle}\)

Można pokazać, że implikacja w drugą stronę też zachodzi.