Matematyka.pl

Witam, mam pytanie co do równości pochodnych cząstkowych a dokładniej tw.Schwarza, które zostało przedstawione mi w ten sposób "Jeżeli \(\displaystyle{ f''_{xy}, f''_{yx}}\) istnieją w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) i są ciagłe to są one równe". Czy na tej podstawie może wybronić odpowiedź "prawda" w poniższym zadaniu skoro nie zostało wspomniane o warunku ciągłości czy fakt, że funkcja posiada te pochodne w podzbiorze otwartym jest z tym równoznaczny?

Zad. Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f (x, y)}\) posiada w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu \(\displaystyle{ f''_{xy}, f''_{yx}}\), to mogą być one różne.

Przeczytaj oba zdania i poszukaj czego brak w drugim

a4karo, zdaję sobie sprawę, że w zadaniu brakuje warunku o ciągłości, który został podany w twierdzeniu dlatego pytam czy to, że funkcja posiada te pochodne w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) oznacza, że nie musi być już wspomniane o warunku ciągłości ponieważ odpowiedź "Prawda" została oceniona jako błędna.

W Fichtenholzu chyba znajdziesz przykład

\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}}\)

Znalazłem taką funkcję, która ma w punkcie (0,0) nierówne pochodne mieszane, ale mam pytanie czy mogę ją zastosować jako przykład dla odpowiedzi "tak" do mojego zadania skoro u mnie funkcja posiada pochodne mieszane w podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \RR^2}\) ?

To sprawdź gdzie jeszcze ma ona pochodne mieszane (podpowiem, że wszędzie)

Dzięki za pomoc, problem rozwiązany.