Matematyka.pl

Jak obliczyć taką całkę Lebesgue'a
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{}fd\mu}\)
gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1, &x>0\\-1, &x \le 0\end{cases}}\)

Z definicji jednowymiarowej całki Lebesque'a.

A co my wiemy o mierze względem której całkujemy ?
Ta całka wcale nie musi istnieć.

Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ \mu=l_1}\)

I wtedy

\(\displaystyle{ \int_R f^+ d\mu=\int_R f^- d\mu=\infty}\)

Moduł tej funkcji jest niecałkowalny względem jednowymiarowej miary Lebesgue'a.