Matematyka.pl

Czy istnieje nieprzeliczalny zbiór parami rozłącznych bałwanków na płaszczyźnie?
Bałwankiem nazywamy tu niezdegenerowana figure w kształcie ósemki.

Polecam ostatni numer Delty

Pomyśl o dobrym umiejscowieniu pewnych punktów o współrzędnych wymiernych wewnątrz takiej ósemki.

Zakładając oczywiście, że bałwanki są "pełne".

JK

Nie wiem czy dobrze myślę, ale gdyby założyć, że bałwanki są puste wtey nie byłoby problemu, bo można by zbudowac z bałwanków nieskoczoną matrioszkę, tak?

"Nieskończona" to nie najlepszy przymiotnik - za mało precyzyjny. A sam kształt bałwanka, nawet pustego, jest bardzo istotny. Jeśli to jest ósemka, to nadal takich bałwanków będzie nie za dużo, ale jeśli miejsce łączenia kulek nie będzie punktem, a trochę "grubsze", to może ich już być dużo więcej.

JK

Załóżmy, że bałwanek (dwuwymiarowy) składa się z brzucha i głowy. Do brzucha bałanka i do głowy też można włożyć bałwanka. Dalej przez indukcję. Dwa wpisane bałwanki nie przecinają się z brzegiem głowy i brzucha większego bałwanka. Czy pomysł dobry?

Ale w ten sposób dostaniesz tylko przeliczalnie wiele bałwanków. Ponadto więcej się nie da. Ale to wymaga lepszego argumentu niż ten bartka118.

JK

Jan Kraszewski pisze:... Ale to wymaga lepszego argumentu niż ten bartka118.
JK

Czyli jakiego lepszego?

Musisz wymyślić, jak każdej ósemce przyporządkować w sposób różnowartościowy element zbioru przeliczalnego. Pomysł jest taki, żeby wziąć koło o środku w środku ósemki (i małym promieniu) i w każdym z czterech obszarów, na które ósemka podzieli to koło znaleźć punkt o obu współrzędnych wymiernych. Tak można ósemce w pewien sposób przypisać element \(\displaystyle{ \QQ^8}\), trzeba tylko pokombinować z uzasadnieniem różnowartościowości.

JK

Dziękuję bardzo
Kumam już.